यदि अतिपरवलयों $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ तथा $\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} – \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = 1$ की उत्केन्द्रतायें क्रमश:  e तथा ${e_1}$ हों, तो $\frac{1}{{{e^2}}} + \frac{1}{{e_1^2}} = $

माना बिंदु $\mathrm{P}(4,1)$ से अतिपरवलय $\mathrm{H}: \frac{\mathrm{y}^2}{25}-\frac{\mathrm{x}^2}{16}=1$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की प्रवणताएं $\mathrm{m}_1$ तथा $\mathrm{m}_2$ हैं। यदि $\mathrm{Q}$ वह बिंदु है, जिससे $\mathrm{H}$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की प्रवणताएं $\left|m_1\right|$ तथा $\left|m_2\right|$ हैं तथा यह स्पर्श रेखाएं $x$-अक्ष पर धनात्मक अंतःखंड $\alpha$ तथा $\beta$ बनाती है, तो $\frac{(\mathrm{PQ})^2}{\alpha \beta}$ बराबर है_________

समकोणीय अतिपरवलय $xy = {c^2}$ की नाभियों के निर्देशांक हैं  

एक अतिपरवलय की नाभियाँ $( \pm 2,0)$ हैं तथा इसकी उत्केन्द्रता $\frac{3}{2}$ है। प्रथम चतुर्थांश में अतिपरवलय के एक बिंदु पर एक स्पर्श रेखा, जो $2 x+3 y=6$ के लंबवत है, खींची जाती है। यदि यह स्पर्श रेखा, $x$ – तथा $y$-अक्षों पर क्रमशः अंतःखंड $a$ तथा $b$ बनाती है, तो $|6 \mathrm{a}|+|5 \mathrm{~b}|$ बराबर है_______.

अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{16}} – \frac{{{y^2}}}{9} = 1$ के बिन्दु $( – 4,\;0)$ पर अभिलम्ब का समीकरण होगा