माना एक दीर्घवृत्त $\frac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{~b}^2}=1$ की उत्केन्द्रता, अतिपरवलय $2 x^2-2 y^2=1$ की उत्केन्द्रता की व्युत्क्रम (reciprocal) है। यदि दीर्घवृत्त, अतिपरवलय को लंबवत काटता है, तो दीर्घवृत्त की नाभिलंब जीवा की लंबाई का वर्ग है__________

एक समकोणीय अतिपरवलय $(rectangular\,hyperbola)$ $x^2-y^2=a^2, a>0$, पर तीन बिन्दुएँ $A, B, C$ इस प्रकार ली गई हैं कि $A=(-a, 0) ; B$ एवं $C$ को $x$-अक्ष के सापेक्ष सममितिय $(symmetrically)$ तरीके से उस अतिपरवलय की ऐसी शाखा पर रखा जाता है जिसपर $A$ नहीं है। मान लीजिए कि त्रिभुज $A B C$ समबाहु है। यदि त्रिभुज $A B C$ की भुजा की लंबाई $k a$ है, तब $k$ निम्न अंतराल में होगा:

एक अतिपरवलय के शीर्ष $(0, 0)$ तथा $(10, 0)$ और एक नाभि $(18, 0)$ है। अतिपरवलय का समीकरण है

अतिपरवलय $\frac{ x ^{2}}{ a ^{2}}-\frac{ y ^{2}}{ b ^{2}}=1$ जिसकी उत्केन्द्रता $\frac{\sqrt{5}}{2}$ है, पर एक बिन्दु $P (-2 \sqrt{6}, \sqrt{3})$ है। यदि इस अतिपरवलय के बिन्दु $P$ पर स्पर्श रेखा तथा अभिलंब अतिपरवलय के संयुग्मी अक्ष को क्रमशः बिन्दुओं $Q$ तथा $R$ पर काटते है, तो $QR$ बराबर है -

यदि अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1$ के बिन्दु $(2\sec \phi ,\;3\tan \phi )$ पर स्पर्श $3x - y + 4 = 0$ के समान्तर है, तब $f$  का मान ............. $^o$ है

माना बिंदु $\mathrm{P}(4,1)$ से अतिपरवलय $\mathrm{H}: \frac{\mathrm{y}^2}{25}-\frac{\mathrm{x}^2}{16}=1$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की प्रवणताएं $\mathrm{m}_1$ तथा $\mathrm{m}_2$ हैं। यदि $\mathrm{Q}$ वह बिंदु है, जिससे $\mathrm{H}$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की प्रवणताएं $\left|m_1\right|$ तथा $\left|m_2\right|$ हैं तथा यह स्पर्श रेखाएं $x$-अक्ष पर धनात्मक अंतःखंड $\alpha$ तथा $\beta$ बनाती है, तो $\frac{(\mathrm{PQ})^2}{\alpha \beta}$ बराबर है_________