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एक त्रिभुज का परिकेंद्र मूल बिन्दु पर है तथा उसका केन्द्रक, बिन्दुओं $\left(a^{2}+1, a^{2}+1\right)$ तथा $(2 a,-2 a)$, $a \neq 0$ को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु है, तो किसी $a$ के लिए इस त्रिभुज का लंब केन्द्र जिस रेखा पर स्थित है, वह है
$y- 2ax\, = 0$
$y- (a^2 + 1)x\, = 0$
$y+ x\, = 0$
$(a - 1)^2x - (a + 1)^2y\, = 0$
Solution
Circumcentre $=(0,0)$
Centroid $ = \left( {\frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{2},\frac{{{{\left( {a – 1} \right)}^2}}}{2}} \right)$
We know the circumcenter $(O)$,
Centroid $(G)$ and orthocentre $(H)$ of a
triangle lie on the line joining the $O$ and $G$
Also, $\frac{{HG}}{{GO}} = \frac{2}{1}$
$ \Rightarrow $ Coordinate of orthocentre
$ = \frac{{3{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{2},\frac{{3{{\left( {a – 1} \right)}^2}}}{2}$
Now, these coordinates satisfies eqn given in option $(d)$
Hence, required eqn of line is
${\left( {a – 1} \right)^2}x – {\left( {a + 1} \right)^2}y = 0$
