समतल में गति करते किसी कण के निर्देशांक x = a | vedclass

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Question

$x = a\cos (pt)$ तथा $y = b\sin (pt)$ (दिया गया है)

$	herefore $ $\cos pt = \frac{x}{a}$ तथा $\sin pt = \frac{y}{b}$

वर्ग करने व जोड़ने पर

$

Vedclass · Accepted Answer

(a) एवं (b)दोनों

Vedclass · Answer

$x = a\cos (pt)$ तथा $y = b\sin (pt)$ (दिया गया है)

$	herefore $ $\cos pt = \frac{x}{a}$ तथा $\sin pt = \frac{y}{b}$

वर्ग करने व जोड़ने पर

${\cos ^2}(pt) + {\sin ^2}(pt) = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

अत: कण का पथ दीर्घ वृत्त होगा।

$x$ तथा $y$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर

${v_x} = \frac{{dx}}{{dt}} = \frac{d}{{dt}}(a\cos (pt)) =  - ap\sin (pt)$

${v_y} = \frac{{dy}}{{dt}} = \frac{d}{{dt}}(b\sin (pt)) = bp\cos (pt)$

$	herefore \;\;\vec v = {v_x}\hat i + {v_y}\hat j =  - ap\sin (pt)\hat i + bp\cos (pt)\hat j$

त्वरण  $\vec a = \frac{{d\vec v}}{{dt}} = \frac{d}{{dt}}[ - ap\sin (pt)\hat i + bp\cos (pt)\hat j]$

$\vec a =  - a{p^2}\cos (pt)\;\hat i - b{p^2}\sin (pt)\hat j$

$t = \frac{\pi }{{2p}}$ पर वेग

$\vec v =  - ap\sin p\left( {\frac{\pi }{{2p}}} ight)\;\hat i + bp\cos p\left( {\frac{\pi }{{2p}}} ight)\hat j$$ =  - ap\;\hat i$

$t = \frac{\pi }{{2p}}$  पर त्वरण

$\vec a = a{p^2}\cos p\left( {\frac{\pi }{{2p}}} ight)\;\hat i - b{p^2}\sin p\left( {\frac{\pi }{{2p}}} ight)\hat j$$ =  - b{p^2}\hat j$

चूँकि $\vec v\;.\;\vec a = 0$

अत: $t = \frac{\pi }{{2p}}$ पर वेग तथा त्वरण एक दूसरे के लम्बवत् हैं।

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