दीर्घवृत्त x^{2}+4 y^{2}=4 निर्देशक अक्षों से ?

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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

hard

दीर्घवृत्त $x^{2}+4 y^{2}=4$ निर्देशक अक्षों से सरंखित एक आयत के अन्तर्गत है जो स्वयं बिन्दु $(4,0)$ से जाने वाले दूसरे दीर्घवृत्त के अन्तर्गत है। तब इस दीर्घवृत्त का समीकरण है

A

$\;{x^2} + 12{y^2} = 16$

B

$\;4{x^2} + 48{y^2} = 48$

C

$\;4{x^2} + 64{y^2} = 48$

D

$\;{x^2} + 16{y^2} = 16$

(AIEEE-2009)

Solution

$x^{2}+4 y^{2}=4;$

$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1;$

So, $a^{2}=4$ and $b^{2}=1;$

So, $a=2$ and $b=1;$

So $P=(2,1);$

Equation of ellipse is,

$\frac{x^{2}}{4^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 ; \ldots .(1)$

It passes throgh $(2,1),$

$\frac{2^{2}}{4^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1;$

$\frac{1}{b^{2}}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4};$

$b^{2}=\frac{4}{3};$

Substituting this in $( 1),$

$\frac{x^{2}}{4^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(\frac{4}{3}\right)}=1$

$\frac{x^{2}}{16}+\frac{3 y^{2}}{4}=1$

$x^{2}+12 y^{2}=16$

Standard 11

Mathematics

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