उस दीर्घवृत्त का समीकरण, जिसके शीर्ष (2,

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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

hard

उस दीर्घवृत्त का समीकरण, जिसके शीर्ष $(2, -2), (2, 4)$ हैं तथा उत्केन्द्रता $\frac{1}{3}$ है, होगा

$\frac{{{{(x - 2)}^2}}}{9} + \frac{{{{(y - 1)}^2}}}{8} = 1$

$\frac{{{{(x - 2)}^2}}}{8} + \frac{{{{(y - 1)}^2}}}{9} = 1$

$\frac{{{{(x + 2)}^2}}}{8} + \frac{{{{(y + 1)}^2}}}{9} = 1$

$\frac{{{{(x - 2)}^2}}}{9} + \frac{{{{(y + 1)}^2}}}{8} = 1$

Solution

(b) दीर्घवृत्त के शीर्षों $(A$ तथा $A')$ के निर्देशांक $ \equiv (2,\, – 2)$ तथा $(2,\,4)$, उत्केन्द्रता $(e) = \frac{1}{3}$ हम जानते हैं कि $AA'$ $y$-अक्ष के समान्तर रेखा के अनुदिश है। अत: $AA'$ का मध्य बिन्दु केन्द्र $(C) = (h,\,k) = (2,\,1)$ तथा $AA'(2b) = 6$ या $b = 3$ हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त का मानक समीकरण
$\frac{{{{(x – h)}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{(y – k)}^2}}}{{{b^2}}} = 1$, ${a^2} = {b^2}(1 – {e^2}) = 9\left( {1 – \frac{1}{9}} \right) = 8.$
अत: दीर्घवृत्त का समीकरण है $\frac{{{{(x – 2)}^2}}}{8} + \frac{{{{(y – 1)}^2}}}{9} = 1.$

Standard 11

Mathematics