दीर्घवृत्त ${x^2} + 2{y^2} = 2$ पर किसी बाह्य बिन्दु से खींची गयी स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्देशांक अक्षों से काटे गये अन्त:खण्ड के मध्य बिन्दु का बिन्दुपथ है    

दीर्घवृत्तों (Ellipses) $\left\{ E _1, E _2, E _3, \ldots ..\right\}$ और आयतों (rectangles) $\left\{ R _1, K _2, K _3, \ldots ..\right\}$ के संग्रहों को निम्न प्रकार से परिभाषित करे :

$E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$

$R _1$ : अधिकतम क्षेत्र (largest area) का आयत, जिसकी भुजाएं अक्षों (axes) के समान्तर है, और जो $E _1$ में अंतस्थित (inscribed) है ;

$E _{ n }$ : अध्कितम क्षेत्र वाला दीर्घवृत्त $\frac{ x ^2}{ a _{ n }^2}+\frac{ y ^2}{ b _{ n }^2}=1$ जो $R _{ n -1}, n >1$ में अंतर्स्थित है ;

$R _{ n }$ : अध्कितम क्षेत्र का आयत, जिसकी भुजाएं अक्षों के समान्तर है, और जो $E _{ n }, n >1$ में अंतस्थित है। तब निम्न में से कौनसा (से) विकल्प सही है (हैं) ?

$(1)$ $E _{18}$ और $E _{19}$ की उत्केन्द्रतायें (eccentricities) समान नहीं है

$(2)$ $E _{ o }$ में केन्द्र से एक नाभि (focus) की दूरी $\frac{\sqrt{5}}{32}$ है

$(3)$ $E _9$ के नाभिलम्ब (latus rectum) की लम्बाई $\frac{1}{6}$ है

$(4)$ प्रत्येक पूर्णांक $N$ के लिए $\sum_{ n =1}^{ N }\left( R _{ n }\right.$ का क्षेत्रफल $)<24$ है

यदि दीर्घवृत्त  $\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ की नाभियाँ व  अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{144}} – \frac{{{y^2}}}{{81}} = \frac{1}{{25}}$ की नाभियाँ सम्पाती हों तो ${b^2}$ का मान है  

दीर्घवृत्त में नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, दीर्घ और लघु अक्ष की लंबाइयाँ, उत्केंद्रता तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए

$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$

यदि दीर्घवृत्त $4 x ^{2}+ y ^{2}=8$ के बिन्दुओं $(1,2)$ तथा $( a , b )$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ परस्पर लम्बवत् है, तो $a ^{2}$ बराबर है