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दीर्घवृत्त, जिसका केन्द्र मूलबिन्दु पर है, की उत्केन्द्रता $\frac{1}{2}$ है। यदि एक नियता $x = 4$ है तब दीर्घवृत्त का समीकरण है
$4{x^2} + 3{y^2} = 1$
$3{x^2} + 4{y^2} = 12$
$4{x^2} + 3{y^2} = 12$
$3{x^2} + 4{y^2} = 1$
Solution
(b) चूँकि नियता $y$ – अक्ष के समान्तर है,
अत: दीर्घवृत्त का अक्ष $x$ – अक्ष के समान्तर है।
माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, $(a > b)$
${e^2} = 1 – \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} $
$\Rightarrow \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = 1 – {e^2} = 1 – \frac{1}{4} $
$\Rightarrow \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = \frac{3}{4}$.
एवं एक नियता $x = 4$ है
$ \Rightarrow $ $\frac{a}{e} = 4 $
$\Rightarrow a = 4e = 4.\frac{1}{2} = 2$;
${b^2} = \frac{3}{4}{a^2} = \frac{3}{4}.4 = 3$
$\therefore $ अभीष्ट दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1$
या $3{x^2} + 4{y^2} = 12$ है।
