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निम्न में से कौन सा बिंदु, दीर्घवृत्त $\frac{ x ^{2}}{4}+\frac{ y ^{2}}{2}=1$ की किसी भी स्पर्श रेखा पर इसकी किसी एक नाभि से खींचे गए लंब के पाद के बिंदु पथ पर स्थित है ?
$(-1, \sqrt{3})$
$(-1, \sqrt{2})$
$(-2, \sqrt{3})$
$(1,2)$
Solution
Let foot of perpendicular is $( h , k )$
$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1 \quad($ Given $)$
$a=2, b=\sqrt{2}, e=\sqrt{1-\frac{2}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\therefore$ Focus $( ae , 0)=(\sqrt{2}, 0)$
Equation of tangent
$y=m x+\sqrt{a^{2} m^{2}+b^{2}}$
$y \equiv m x+\sqrt{4 m^{2}+2}$
Passes throguh (h,k) $( k – mh )^{2}=4 m ^{2}+2$
line perpendicular to tangent will have slope
$-\frac{1}{m}$
$y-0=-\frac{1}{m}(x-\sqrt{2})$
$my =- x +\sqrt{2}$
$( h + mk )^{2}=2$
Add equaiton (1) and (2) $k ^{2}\left(1+ m ^{2}\right)+ h ^{2}\left(1+ m ^{2}\right)=4\left(1+ m ^{2}\right)$
$h^{2}+k^{2}=4$
$x^{2}+y^{2}=4$ (Auxilary circle)
$\therefore(-1, \sqrt{3})$ lies on the locus.
