वृत्त {x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 12 = 0 के उन बिन्दुओं पर ज?

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10-1.Circle and System of Circles

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वृत्त ${x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 12 = 0$ के उन बिन्दुओं पर जिसकी कोटि $-1$ है, अभिलम्ब के समीकरण होंगे

A

$2x - y - 7 = 0,\,2x + y - 9 = 0$

B

$2x + y + 7 = 0,\,2x + y + 9 = 0$

C

$2x + y - 7 = 0,\,\,2x + y + 9 = 0$

D

$2x - y + 7 = 0,\,2x - y + 9 = 0$

Solution

(a) बिन्दु का भुज, कोटि का मान रखने पर प्राप्त किया जा सकता है।

$ \Rightarrow {x^2} – 8x + 15 = 0$

$ \Rightarrow x = \frac{{8 \pm \sqrt {64 – 60} }}{2} = \frac{{8 \pm 2}}{2} = 5$ या 3

अर्थात् बिन्दु $(5,\; – 1)$ व $(3, -1)$ हैं।

अभिलम्ब $\frac{{x – 5}}{{5 – 4}} = \frac{{y + 1}}{{ – 1 – 1}} $

$\Rightarrow 2x + y – 9 = 0$

व $\frac{{x – 3}}{{3 – 4}} = \frac{{y + 1}}{{ – 1 – 1}}$

$\Rightarrow 2x – y – 7 = 0$ है।

Standard 11

Mathematics

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वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2x + 4y + 3 = 0$ के बिन्दु $(-2, -3)$ पर अभिलम्ब की प्रवणता है

easy

$x = 7$ वृत्त ${x^2} + {y^2} – 4x – 6y – 12 = 0$ को स्पर्श करती है तब एक स्पर्श बिन्दु के निर्देशांक हैं

easy

एक वृत्त $C$, बिन्दु $(4,0)$ से होकर जाता है तथा वृत्त $x ^{2}+ y ^{2}+4 x -6 y =12$ को बिन्दु $(1,-1)$ पर बाह्य स्पर्श करता है, तो $C$ की त्रिज्या है

hard

(JEE MAIN-2019)

माना कि $S$ एक वृत्त (circle) है जो $x y$-समतल (plane) में समीकरण (equation) $x^2+y^2=4$ के द्वारा परिभाषित है।

($1$) माना कि $E_1 E_2$ और $F_1 F_2$ वृत्त $S$ की ऐसी जीवायें (chords) हैं जो बिंदु $P_0(1,1)$ से गुजरती हैं और क्रमश: $x$-अक्ष (axis) व $y$-अक्ष के समान्तर (parallel) हैं। माना कि $G_1 G_2, S$ की वह जीवा है जो $P_0$ से गुजरती है और जिसकी प्रवणता (slope) -$1$ है। माना कि $E_1$ और $E_2$ पर $S$ की स्पर्शियाँ (tangents) $E_3$ पर मिलती हैं, $F_1$ और $F_2$ पर $S$ की स्पर्शियाँ $F_3$ पर मिलती हैं, तथा $G_1$ और $G_2$ पर $S$ की स्पर्शियाँ $G_3$ पर मिलती हैं। तब वह वक्र (curve) जिस पर बिंदु $E_3, F_3$ और $G_3$ स्थित हैं, है

$(A)$ $x+y=4$ $(B)$ $(x-4)^2+(y-4)^2=16$ $(C)$ $(x-4)(y-4)=4$ $(D)$ $x y=4$

($2$) माना कि $P$ वृत्त $S$ पर स्थित एक ऐसा बिंदु है जिसके दोनों निर्देशांक (coordinates) धनात्मक (positive) हैं। माना कि वृत्त $S$ के बिंदु $P$ पर स्पर्शी (tangent) निर्देशांक अक्षों (coordinate axes) को बिन्दुओं $M$ और $N$ पर प्रतिच्छेद (intersects) करती है। तब वह वक्र (curve) जिस पर रेखाखंड (line segement) $M N$ का मध्य बिंदु (mid-point) अनिवार्य रूप से स्थित है, है

$(A)$ $(x+y)^2=3 x y$ $(B)$ $x^{2 / 3}+y^{2 / 3}=2^{4 / 3}$ $(C)$ $x^2+y^2=2 x y$ $(D)$ $x^2+y^2=x^2 y^2$

इस प्रश्न के उतर दीजिये $1$ ओर $2.$

normal

(IIT-2018)

यदि रेखाएँ $3x – 4y + 4 = 0$ तथा $6x – 8y – 7 = 0$ एक वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हों, तो वृत्त की त्रिज्या है

easy

(IIT-1984)