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दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ की उस जीवा, जिसका मध्य बिंदु $\left(1, \frac{2}{5}\right)$ है, की लम्बाई है :
$\frac{\sqrt{1691}}{5}$
$\frac{\sqrt{2009}}{5}$
$\frac{\sqrt{1741}}{5}$
$\frac{\sqrt{1541}}{5}$
Solution
Equation of chord with given middle point.
$\mathrm{T}=\mathrm{S}_1$
$ \frac{x}{25}+\frac{y}{40}=\frac{1}{25}+\frac{1}{100} $
$ \frac{8 x+5 y}{200}=\frac{8+2}{200}$
$y=\frac{10-8 x}{5}$ $…….(i)$
$\frac{x^2}{25}+\frac{(10-8 x)^2}{400}=1$ (put in original equation)
$\frac{16 \mathrm{x}^2+100+64 \mathrm{x}^2-160 \mathrm{x}}{400}=1$
$ 4 x^2-8 x-15=0 $
$ x=\frac{8 \pm \sqrt{304}}{8} $
$x_1=\frac{8+\sqrt{304}}{8} ; x_2=\frac{8-\sqrt{304}}{8}$
$\mathrm{x}_1=\frac{8+\sqrt{304}}{8} ; \mathrm{x}_2=\frac{8-\sqrt{304}}{8}$
Similarly, $y=\frac{10-18 \pm \sqrt{304}}{5}=\frac{2 \pm \sqrt{304}}{5}$
$\mathrm{y}_1=\frac{2-\sqrt{304}}{5} ; \mathrm{y}_2=\frac{2+\sqrt{304}}{5}$
Distance =$\sqrt{\left(\mathrm{x}_1-\mathrm{x}_2\right)^2+\left(\mathrm{y}_1-\mathrm{y}_2\right)^2}$
$=\sqrt{\frac{4 \times 304}{64}+\frac{4 \times 304}{25}}=\frac{\sqrt{1691}}{5}$
Similar Questions
दीर्घवृत्त (ellipse)
$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
पर विचार कीजिए। माना कि $H (\alpha, 0), 0<\alpha<2$, एक बिंदु (point) है। बिंदु $H$ से होती हुई एवं $y$-अक्ष के समांतर (parallel to the $y$-axis) एक सरल रेखा (straight line) दीर्घवृत्त एवं इसके सहवृत्त (auxiliary circle) को प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में क्रमशः बिंदुओं $E$ एवं $F$ पर प्रतिच्छेदित (intersect) करती है। बिंदु $E$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा (tangent) धनात्मक $x$-अक्ष को एक बिंदु $G$ पर प्रतिच्छेदित करती है। मान लिजिए कि $F$ एवं मूलबिंदु (origin) को जोड़ने वाली सरल रेखा, धनात्मक $x$-अक्ष के साथ एक कोण (angle) $\phi$ बनाती है।
| $List-I$ | $List-II$ |
| यदि $\phi=\frac{\pi}{4}$ है, तब त्रिभुज $F G H$ का क्षेत्रफल | ($P$) $\frac{(\sqrt{3}-1)^4}{8}$ |
| यदि $\phi=\frac{\pi}{3}$ है, तब त्रिभुज $F G H$ का क्षेत्रफल | ($Q$) $1$ |
| यदि $\phi=\frac{\pi}{6}$ है, तब त्रिभुज $F G H$ का क्षेत्रफल | ($R$) $\frac{3}{4}$ |
| यदि $\phi=\frac{\pi}{12}$ है, तब त्रिभुज $F G H$ का क्षेत्रफल | ($S$) $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ |
| ($T$) $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ |
सही विकल्प हैं :
