- Home
- Standard 11
- Mathematics
दीर्घवृत्तों (Ellipses) $\left\{ E _1, E _2, E _3, \ldots ..\right\}$ और आयतों (rectangles) $\left\{ R _1, K _2, K _3, \ldots ..\right\}$ के संग्रहों को निम्न प्रकार से परिभाषित करे :
$E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$
$R _1$ : अधिकतम क्षेत्र (largest area) का आयत, जिसकी भुजाएं अक्षों (axes) के समान्तर है, और जो $E _1$ में अंतस्थित (inscribed) है ;
$E _{ n }$ : अध्कितम क्षेत्र वाला दीर्घवृत्त $\frac{ x ^2}{ a _{ n }^2}+\frac{ y ^2}{ b _{ n }^2}=1$ जो $R _{ n -1}, n >1$ में अंतर्स्थित है ;
$R _{ n }$ : अध्कितम क्षेत्र का आयत, जिसकी भुजाएं अक्षों के समान्तर है, और जो $E _{ n }, n >1$ में अंतस्थित है। तब निम्न में से कौनसा (से) विकल्प सही है (हैं) ?
$(1)$ $E _{18}$ और $E _{19}$ की उत्केन्द्रतायें (eccentricities) समान नहीं है
$(2)$ $E _{ o }$ में केन्द्र से एक नाभि (focus) की दूरी $\frac{\sqrt{5}}{32}$ है
$(3)$ $E _9$ के नाभिलम्ब (latus rectum) की लम्बाई $\frac{1}{6}$ है
$(4)$ प्रत्येक पूर्णांक $N$ के लिए $\sum_{ n =1}^{ N }\left( R _{ n }\right.$ का क्षेत्रफल $)<24$ है
$1,2$
$1,3$
$1,4$
$3,4$
Solution
Area of $R_1=3 \sin 2 \theta$; for this to be maximum
$\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}$ $\Rightarrow $$(\frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{2}{\sqrt{2}})$
Hence for subsequent areas of rectangles $R _{ n }$ to be maximum the coordinates will be in GP with common ratio $r =\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow a _{ n }=\frac{3}{(\sqrt{2})^{ n -1}} ; b _{ n }=\frac{3}{(\sqrt{2})^{ n -1}}$
Eccentricity of all the ellipses will be same
Distance of a focus from the centre in $E_9=a_9 e_9=\sqrt{a_g^2-b_9^2}=\frac{\sqrt{3}}{16}$
Length of latus rectum of $E_9=\frac{2 b_9^2}{a_9}=\frac{1}{6}$
$\because \sum_{n=1}^{\infty} \text { Area of } R_n=12+\frac{12}{2}+\frac{12}{4}+\ldots . \infty=24$
$\Rightarrow \sum_{ n =1}^{ N }\left(\text { area of } R _{ n }\right)<24, $for each positive integer $N$
Similar Questions
दीर्घवृत्त (ellipse)
$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
पर विचार कीजिए। माना कि $H (\alpha, 0), 0<\alpha<2$, एक बिंदु (point) है। बिंदु $H$ से होती हुई एवं $y$-अक्ष के समांतर (parallel to the $y$-axis) एक सरल रेखा (straight line) दीर्घवृत्त एवं इसके सहवृत्त (auxiliary circle) को प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में क्रमशः बिंदुओं $E$ एवं $F$ पर प्रतिच्छेदित (intersect) करती है। बिंदु $E$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा (tangent) धनात्मक $x$-अक्ष को एक बिंदु $G$ पर प्रतिच्छेदित करती है। मान लिजिए कि $F$ एवं मूलबिंदु (origin) को जोड़ने वाली सरल रेखा, धनात्मक $x$-अक्ष के साथ एक कोण (angle) $\phi$ बनाती है।
| $List-I$ | $List-II$ |
| यदि $\phi=\frac{\pi}{4}$ है, तब त्रिभुज $F G H$ का क्षेत्रफल | ($P$) $\frac{(\sqrt{3}-1)^4}{8}$ |
| यदि $\phi=\frac{\pi}{3}$ है, तब त्रिभुज $F G H$ का क्षेत्रफल | ($Q$) $1$ |
| यदि $\phi=\frac{\pi}{6}$ है, तब त्रिभुज $F G H$ का क्षेत्रफल | ($R$) $\frac{3}{4}$ |
| यदि $\phi=\frac{\pi}{12}$ है, तब त्रिभुज $F G H$ का क्षेत्रफल | ($S$) $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ |
| ($T$) $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ |
सही विकल्प हैं :
