$|2z - 1| + |3z - 2|$का न्यूनतम मान होगा
$|2z - 1| + |3z - 2|$का न्यूनतम मान होगा
- A
$0$
- B
$1/2$
- C
$1/3$
- D
$2/3$
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मानाकि $z_k=\cos \left(\frac{2 k \pi}{10}\right)+ i \sin \left(\frac{2 k \pi}{10}\right) ; k=1,2, \ldots 9$
List $I$
List $II$
$P.$ प्रत्येक $z _{ k }$ के लिए एक ऐसा $z _{ j }$ है जिसके लिये $z _{ k } \cdot z _{ j }=1$
$1.$ सत्य
$Q.$ $\{1,2, \ldots, 9\}$ में एक ऐसा $k$ है कि $z _1 . z = z _{ k }$ का कोई हल $z$ सम्मिश्र संख्याओं (complex numbers) में नहीं है
$2.$ असत्य
$R.$ $\frac{\left|1-z_1\right|\left|1-z_2\right| \ldots . . .\left|1-z_9\right|}{10}$ का मान है-
$3.$ $1$
$S.$ $1-\sum_{ k =1}^9 \cos \left(\frac{2 k \pi}{10}\right)$ का मान है-
$4.$ $2$
Codes: $ \quad P \quad Q \quad R \quad S$
मानाकि $z_k=\cos \left(\frac{2 k \pi}{10}\right)+ i \sin \left(\frac{2 k \pi}{10}\right) ; k=1,2, \ldots 9$
| List $I$ | List $II$ |
| $P.$ प्रत्येक $z _{ k }$ के लिए एक ऐसा $z _{ j }$ है जिसके लिये $z _{ k } \cdot z _{ j }=1$ | $1.$ सत्य |
| $Q.$ $\{1,2, \ldots, 9\}$ में एक ऐसा $k$ है कि $z _1 . z = z _{ k }$ का कोई हल $z$ सम्मिश्र संख्याओं (complex numbers) में नहीं है | $2.$ असत्य |
| $R.$ $\frac{\left|1-z_1\right|\left|1-z_2\right| \ldots . . .\left|1-z_9\right|}{10}$ का मान है- | $3.$ $1$ |
| $S.$ $1-\sum_{ k =1}^9 \cos \left(\frac{2 k \pi}{10}\right)$ का मान है- | $4.$ $2$ |
Codes: $ \quad P \quad Q \quad R \quad S$
- [IIT 2014]
यदि $\mathrm{z}=\alpha+\mathrm{i} \beta,|\mathrm{z}+2|=\mathrm{z}+4(1+\mathrm{i})$, तो $\alpha+\beta$ तथा $\alpha \beta$ किस समीकरण के मूल हैं ?
यदि $\mathrm{z}=\alpha+\mathrm{i} \beta,|\mathrm{z}+2|=\mathrm{z}+4(1+\mathrm{i})$, तो $\alpha+\beta$ तथा $\alpha \beta$ किस समीकरण के मूल हैं ?
- [JEE MAIN 2023]
सम्मिश्र संख्याओं ${z_1}$और ${z_2}$के लिये सत्य कथन
सम्मिश्र संख्याओं ${z_1}$और ${z_2}$के लिये सत्य कथन
माना सभी सम्मिश्र संख्याओं $z$ का समुच्चय $S$ है जो $\left|z^2+z+1\right|=1$ को संतुष्ट करता है। तब निम्न में से कौनसा/कौनसे कथन सत्य होगा/होंगे?
$(A)$ सभी $z \in S$ के लिये $\left| z +\frac{1}{2}\right| \leq \frac{1}{2}$ होगा।
$(B)$ सभी $z \in S$ के लिये $| z | \leq 2$ होगा।
$(C)$ सभी $z \in S$ के लिये $\left| z +\frac{1}{2}\right| \geq \frac{1}{2}$ होगा।
$(D)$ समुच्चय $S$ में ठीक चार अवयव होंगे।
माना सभी सम्मिश्र संख्याओं $z$ का समुच्चय $S$ है जो $\left|z^2+z+1\right|=1$ को संतुष्ट करता है। तब निम्न में से कौनसा/कौनसे कथन सत्य होगा/होंगे?
$(A)$ सभी $z \in S$ के लिये $\left| z +\frac{1}{2}\right| \leq \frac{1}{2}$ होगा।
$(B)$ सभी $z \in S$ के लिये $| z | \leq 2$ होगा।
$(C)$ सभी $z \in S$ के लिये $\left| z +\frac{1}{2}\right| \geq \frac{1}{2}$ होगा।
$(D)$ समुच्चय $S$ में ठीक चार अवयव होंगे।
- [IIT 2020]
यदि $z = \cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}$, तब
यदि $z = \cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}$, तब