- Home
- Standard 11
- Physics
એક પદાર્થની ગતિનું સમીકરણ $\frac{{dv(t)}}{{dt}} = 6.0 - 3v(t)$ મુજબ આપેલ છે. જ્યાં $v(t)$ એ $m/s$ માં ઝડપ છે અને $t$ એ $\sec $ માં છે. જો પદાર્થ $t = 0$ સમયે સ્થિર હોય તો.....
ટર્મિનલ વેગ $2.0 \,m/s$ થાય
$v(t) = 2(1 - {e^{ - 3t}})\,m/s$ મુજબ ઝડપ સમય સાથે બદલાય છે.
પ્રારંભિક પ્રવેગ નું મૂલ્ય $6.0\,m/{s^2}$ હશે.
આપેલ તમામ
Solution
(d) $\frac{{dv}}{{dt}} = 6 – 3v \Rightarrow \frac{{dv}}{{6 – 3v}} = dt$
Integrating both sides, $\int {\frac{{dv}}{{6 – 3v}}} = \int {dt} $
$⇒ \frac{{{{\log }_e}(6 – 3v)}}{{ – 3}} = t + {K_1}$
$⇒ {\log _e}(6 – 3v) = – 3t + {K_2}$…(i)
At $t = 0,\;v = 0$
$\therefore {\log _e}6 = {K_2}$
Substituting the value of ${K_2}$ in equation (i)
${\log _e}(6 – 3v) = – 3t + {\log _e}6$
$⇒ {\log _e}\left( {\frac{{6 – 3v}}{6}} \right) = – 3\,t$ $⇒$ ${e^{ – 3t}} = \frac{{6 – 3v}}{6}$
$⇒ 6 – 3v = 6{e^{ – 3\,t}}$ $⇒$ $3v = 6(1 – {e^{ – 3\,t}})$
$⇒ v = 2(1 – {e^{ – 3\,t}})$
$\therefore {v_{{\rm{terminal}}}} = 2\;m/s$ (When $t = \infty $).
Acceleration $a = \frac{{dv}}{{dt}} = \frac{d}{{dt}}\left[ {2\left( {1 – {e^{ – 3\;t}}} \right)} \right] = 6{e^{ – 3\,t}}$
Initial acceleration =$6\;m/{s^2}$.
