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धनपूर्णांक के $5-$ टुपल्स $(tuples)$ $(a, b, c, d, e)$, इस प्रकार हैं कि
$I$. $a, b, c, d, e$ उत्तल पंचकोण $(Convex\,pentagon)$ के डिग्री में कोणों के माप हैं ।
$II$. $a \leq b \leq c \leq d \leq e$
$III$. $a, b, c, d, e$ अंकगणितीय श्रेढ़ी मे हैं ।
ऐसे कितने $5-$ टुपल्स सभव है ?
$35$
$36$
$37$
$126$
Solution
(b)
We have,
$I$. $a, b,, c, d, e$ are angle of convex pentagon in degree.
$II$. $a \leq b \leq c \leq d \leq e$
$IIl$. $a, b, c, d, e$ are in $AP$
$a + b + c + d + e=540^{\circ}$
Let $a=\alpha$, common difference $=D$
$\therefore \quad \frac{5}{2}(2 a+4 D)=540^{\circ}$
$a+2 D=108$ and $a+4 D<180^{\circ}$
$[\because$ interior angle of polygon is
less than $\left.180^{\circ}\right]$
$\therefore \quad 108^{\circ}-2 D+4 D < 180^{\circ}$
$2 D < 180^{\circ}-108^{\circ}$
$0 < D < 36$
$\therefore$ Total 36 types are possible.
