$5$ विभिन्न हरी, $4$ विभिन्न नीली एवं $3$ विभिन्न लाल रंग की गेंदों से कुल कितने समूह बनाये जा सकते हैं यदि कम से कम $1$ हरी एवं $1$ नीली गेंद अवश्य शामिल की जाए

$^{15}{C_3}{ + ^{15}}{C_{13}}$ का मान होगा

छः विभिन्न उपन्यासों और $3$ विभिन्न शब्दकोशों से $4$ उपन्यास और $1$ शब्दकोश चुन कर एक अल्मारी में एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित किया जाना है कि शब्दकोश सदा बीच में रहे। तब ऐसे विन्यासों (arrangements) की संख्या है :

$r$ का वह मान, जिसके लिये ${ }^{20} C _{ r }{ }^{20} C _{0}+{ }^{20} C _{ r -1}{ }^{20} C _{1}$ $+{ }^{20} C _{ r -2}{ }^{20} C _{2}+\ldots{ }^{20} C _{0}{ }^{20} C _{ r }$ अधिकतम है

शब्द ‘$MATHEMATICS$’ के चार अक्षरों को लेकर बनाये गये अक्षरों की संख्या होगी

$m$ पुस्तके काले आवरण में और $n$ पुस्तकें नीले आवरण में है और सभी पुस्तकें भिन्न है. कुल $(m+n)$ पुस्तकों को आलमारी में कितने ढंग से सजाया जा सकता है जिससे कि काले आवरण वाली सभी पुस्तकें साथ-साथ रहे.