यदि समीकरण $x^3-27 x+k=0$ के कम से कम दो अभिन्न पूर्णांक मूल हो, तो पूर्णाक $k$ की कितनी संख्याएँ संभव है??

$2^x+3^y=5^{x y}$ को संतुष्ट करने वाले घनात्मक पूर्णांकों को क्रमित युग्मों $(x, y)$ की संख्या है.

$\frac{{\log 5 + \log ({x^2} + 1)}}{{\log (x - 2)}} = 2$ के हलों की संख्या है

मान लें कि $a, b$ अशून्य वास्तविक संख्याएँ हैं तो द्विघात $(quadratic)$ समीकरण $a x^2+(a+b) x+b=0$

के बारे में निम्नलिखित में से कौन से कथन निश्चय ही सत्य हैं?

$(I)$ इसका कम से कम एक शून्यक (root) ऋणात्मक होगा।

$(II)$ इसका कम से कम शक शून्यक धनात्मक होगा।

$(III)$ इसके दोनों शून्यक वास्तविक हैं।

बहुपद समीकरण $x^3-3 a x^2+\left(27 a^2+9\right) x+2016=0$ का

माना $\alpha=\max _{x \in R }\left\{8^{2 \sin 3 x} \cdot 4^{4 \cos 3 x}\right\}$ तथा $\beta=\min _{ n \in R }\left\{8^{2 \sin 3 n } \cdot 4^{4 \cos 3 x }\right\}$ हैं। यदि द्विघातीय समीकरण $8 x ^{2}+ bx + c =0$ के मूल $\alpha^{1 / 5}$ तथा $\beta^{1 / 5}$ है, तो $c - b$ का मान बराबर है