1+x^2+x^4+x^6+ldots+x^{2010} बहुपद (polynomial) को विभाजन करने व

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8. Sequences and Series

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$1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{2010}$ बहुपद $(polynomial)$ को विभाजन करने वाले $1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{n-1}$ बहुपद के लिए अंतराल $[1005,2010]$ में कितनो प्राकृत संख्याएं $(natural\,numbers)$ हों गी?

$0$

$100$

$503$

$1006$

(KVPY-2010)

Solution

(c)

Let $P(x)=1+x^2+x^4+\ldots+x^{2010}$

${c}P(x)=\frac{1-x^{2012}}{1-x^2}$

$P(x)=\frac{\left(1-x^{1006}\right)\left(1+x^{1006}\right)}{(1-x)(1+x)}$$P(x)=\left(1+x^{1006}\right)\left(\frac{1-x^{503}}{1-x}\right)\left(\frac{1+x^{503}}{1+x}\right)$

$\left.P(x)=\left(1+x^{1006}\right) 1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{502}\right)$

$\left(1-x+x^2-x^3+\ldots+x^{502}\right)$

Thus, $P(x)$ is divisible by $1+x+x^2+\ldots x^{n-1}$

If $n-1=502 \Rightarrow n=503$

Standard 11

Mathematics

यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी के अनन्त पदों का योग $x$ है एवं पदों का वर्ग करने पर योग $y$ हो जाता है, तो श्रेणी का सार्व-अनुपात होगा

medium

एक व्यक्ति की दसवीं पीढ़ी तक पूर्वजों की संख्या कितनी होगी, जबकि उसके $2$ माता-पिता, $4$ दादा-दादी, $8$ पर दादा, पर दादी तथा आदि हैं।

easy

गुणोत्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पदों का योग $38$ तथा उनका गुणनफल $1728$ है, तब श्रेणी का महत्तम पद होगा

easy

यदि $a, b, c$ तथा $d$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो दिखाइए कि $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)=$ $(a b+b c+c d)^{2}$

medium

श्रेणी $2 \times 4 + 4 \times 6 + 6 \times 8 + …….$ का $20$ वाँ पद होगा

easy

Solution

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