समीकरण {z^2} + bar z = 0 के हलों की संख्या है | vedclass

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Question

(d) माना $z = x + iy,$ ताकि $\overline z  = x - iy,$ अत:

${z^2} + \overline z  = 0\, \Leftrightarrow ({x^2} - {y^2} + x) + i\,(2xy - y) =

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$4$

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(d) माना $z = x + iy,$ ताकि $\overline z  = x - iy,$ अत:

${z^2} + \overline z  = 0\, \Leftrightarrow ({x^2} - {y^2} + x) + i\,(2xy - y) = 0$ वास्तविक एवं काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,

 ${x^2} - {y^2} + x = 0$... .....$(i)$

एवं $2xy - y = 0  &rArr; y = 0$ या $x = \frac{1}{2}$

यदि $y = 0$, तब $(i)$ ${x^2} + x = 0\,\, \Rightarrow x = 0$या $x =  - 1$

यदि $x = \frac{1}{2},$ तब ${x^2} - {y^2} + x = 0$

$&rArr; {y^2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$

$&rArr; y =  \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

अत: कुल $4$ हल हैं।

समीकरण ${z^2} + \bar z = 0$ के हलों की संख्या है

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यदि ${z_1},{z_2}$ तथा ${z_3},{z_4}$ संयुग्मी सम्मिश्र संख्याओं के दो युग्म हैं, तब $arg\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_4}}}} \right) + arg\left( {\frac{{{z_2}}}{{{z_3}}}} \right)$बराबर है

यदि सम्मिश्र संख्या $z = x + iy$ इस प्रकार ली जाती है कि भिन्न $\frac{{z - 1}}{{z + 1}}$ का कोणांक सदैव $\frac{\pi }{4}$ हो, तो

माना $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है, कि $\left|\frac{ z - i }{ z +2 i }\right|=1$ है तथा $|z|=\frac{5}{2}$ है, तो $|z+3 i|$ का मान है

यदि ${z_1}$ तथा ${z_2}$दो अशून्य सम्मिश्र संख्याएँ ऐसी हों कि $|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|$ हो, तब कोणांक $({z_1}) - $कोणांक $({z_2})$ का मान है

यदि $|{z_1}|\, = \,|{z_2}|$ तथा कोणांक $\,{z_1} + \,\,$कोणांक${z_2} = 0$, तो