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समीकरण ${z^2} + \bar z = 0$ के हलों की संख्या है
$1$
$2$
$3$
$4$
Solution
(d) माना $z = x + iy,$ ताकि $\overline z = x – iy,$ अत:
${z^2} + \overline z = 0\, \Leftrightarrow ({x^2} – {y^2} + x) + i\,(2xy – y) = 0$ वास्तविक एवं काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,
${x^2} – {y^2} + x = 0$… …..$(i)$
एवं $2xy – y = 0 ⇒ y = 0$ या $x = \frac{1}{2}$
यदि $y = 0$, तब $(i)$ ${x^2} + x = 0\,\, \Rightarrow x = 0$या $x = – 1$
यदि $x = \frac{1}{2},$ तब ${x^2} – {y^2} + x = 0$
$⇒ {y^2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$
$⇒ y = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
अत: कुल $4$ हल हैं।
Similar Questions
माना कि $|z|^3+2 z^2+4 \bar{z}-8=0$ को संतुष्ट करने वाली एक सम्मिश्र संख्या (complex number) $z$ है, जहाँ $\bar{z}$ सम्मिश्र संख्या $z$ का संयुग्मी (conjugate) है। माना कि $z$ का काल्पनिक भाग (imaginary part) अशून्य (nonzero) है।
List-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का List-$II$ की सही प्रविष्टियों (entries) से मिलान कीजिये।
| List-$I$ | List-$II$ |
| ($P$) $|z|^2$ के बराबर हैं | ($1$) $12$ |
| ($Q$) $|z-\bar{z}|^2$ के बराबर हैं | ($2$) $4$ |
| ($R$) $|z|^2+|z+\bar{z}|^2$ के बराबर हैं | ($3$) $8$ |
| ($S$) $|z+1|^2$ के बराबर हैं | ($4$) $10$ |
| ($5$) $7$ |
सही विकल्प है:
