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एक छात्र की गणित, भौतिकी, रसायन शास्त्र में उत्तीर्ण होने की प्रायिकतायें क्रमश: $m, p$ तथा $c$ हैं। इन विषयों में से इस छात्र के कम से कम एक विषय में पास होने की सम्भावना $75\%$ है, कम से कम दो विषयों में पास होने की $50\%$ और केवल दो ही विषयों में पास होने की सम्भावना $40\%$ हैं। निम्नलिखित में से कौन-कौन से सम्बन्ध सत्य हैं
$p + m + c = \frac{{19}}{{20}}$
$p + m + c = \frac{{27}}{{20}}$
$pmc = \frac{1}{4}$
इनमें से कोई नहीं
Solution
(b) माना $M,\,\,P$ और $C$ क्रमश: गणित, भौतिक तथा रसायन में उत्तीर्ण होने की घटनायें हों तब
$P(M \cup P \cup C) = \frac{{75}}{{100}} = \frac{3}{4}$
$P(M \cap P) + P(P \cap C) + P(M \cap C) – 2P(M \cap P \cap C) = \frac{{50}}{{100}} = \frac{1}{2}$
$P(M \cap P) + P(P \cap C) + P(M \cap C) – 2P(M \cap P \cap C) = \frac{{40}}{{100}} = \frac{2}{5}$
$\therefore$ $m(1 – p)(1 – c) + p(1 – m)(1 – c) + c(1 – m)(1 – p)$
$ + mp(1 – c) + mc(1 – p) + pc(1 – m) + mpc = \frac{3}{4}$
$ \Rightarrow m + p + c – mc – mp – pc + mpc = \frac{3}{4}$ …..$(i)$
इसी प्रकार $mp(1 – c) + pc(1 – m) + mc(1 – p) + mpc = \frac{1}{2}$
$ \Rightarrow mp + pc + mc – 2mpc = \frac{1}{2}$ …..$(ii)$
$mp(1 – c) + pc(1 – m) + mc(1 – p) = \frac{2}{5}$
$ \Rightarrow mp + pc + mc – 3mpc = \frac{2}{5}$ …..$(iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ से, $mpc = \frac{1}{2} – \frac{2}{5} = \frac{1}{{10}}$
$(i)$ और $(ii)$ से, $m + p + c – mpc = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$
$\therefore \,\,\,m + p + c = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{{10}} = \frac{{15 + 10 + 2}}{{20}} = \frac{{27}}{{20}}.$
