मान लें $A$ तथा $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं और $P ( A )=\frac{1}{2}$ तथा $P ( B )=\frac{7}{12}$ और $P ( A$ -नहीं और $B$ -नहीं $)=\frac{1}{4}$. क्या $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं?
मान लें $A$ तथा $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं और $P ( A )=\frac{1}{2}$ तथा $P ( B )=\frac{7}{12}$ और $P ( A$ -नहीं और $B$ -नहीं $)=\frac{1}{4}$. क्या $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं?
It is given that $\mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{1}{2}, \mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{7}{12} \text { and } \mathrm{P}(\text { not } \mathrm{A} \text { or not } \mathrm{B})=\frac{1}{4}$.
$\Rightarrow \mathrm{P}\left(\mathrm{A}^{\prime} \cup \mathrm{B}^{\prime}\right)=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow P\left((A \cap B)^{\prime}\right)=\frac{1}{4} \quad\left[A^{\prime} \cup B^{\prime}=(A \cap B)^{\prime}\right]$
$\Rightarrow 1-\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\frac{3}{4}$ ........... $(1)$
However, $\mathrm{P}(\mathrm{A}) \mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{12}=\frac{7}{24} $ .......... $(2)$
Here, $\frac{3}{4} \neq \frac{7}{24}$
$\therefore $ $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) \neq \mathrm{P}(\mathrm{A}) \mathrm{P}(\mathrm{B})$
Therefore, $A$ and $B$ are not independent events.
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यदि $A$ तथा $B$ दो ऐसी घटनाएँ हों कि $P\,(A \cup B) = P\,(A \cap B),$ तो सत्य सम्बन्ध है
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- [IIT 1998]
यदि $A$ तथा $B$ दो स्वतंत्र घटनाएँ हो, जहाँ $P\,(A) = 0.40,\,\,P\,(B) = 0.50.$ तो $P$ (न $A$ और न $B$) ज्ञात कीजिए
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एक व्यक्ति के $20$ साल तक जिन्दा रहने की प्रायिकता $\frac{3}{5}$ तथा उसकी पत्नी के $20$ साल तक जिन्दा रहने की प्रायिकता $\frac{2}{3}$ है तो इस बात की प्रायिकता कि उनमें से कम से कम एक जिन्दा ($20$ साल तक) रहे, होगी
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माना $A$ तथा $B$ दो घटनायें इस प्रकार हैं कि दोनों में से मात्र एक के होने की प्रायिकता $\frac{2}{5}$ है तथा $A$ या $B$ के होने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है, तो दोनों के एक साथ होने की प्रायिकता है :-
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- [JEE MAIN 2020]