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अतिपरवलय के किसी बिन्दु से इसकी अनन्तस्पर्शियों पर खींचे लम्बों का गुणनफल है
$\frac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}$
$\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}}$
$\frac{{ab}}{{\sqrt a + \sqrt b }}$
$\frac{{ab}}{{{a^2} + {b^2}}}$
Solution
(a) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ है। माना $({x_1},\,{y_1})$ अतिपरवलय पर कोई बिन्दु है।
$\therefore \,\frac{{x_1^2}}{{{a^2}}} – \frac{{y_1^2}}{{{b^2}}} = 1$ ==> ${b^2}x_1^2 – {a^2}y_1^2 = {a^2}{b^2}$.
दिये गये अतिपरवलय की अनन्त स्पर्शियाँ $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}$$ – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 0$ हैं
$\therefore \,$ बिन्दु $({x_1},{y_1})$ से रेखायुग्म $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 0$ पर डाले गये
लम्बों का गुणनफल = $\frac{{|Ax_1^2 + 2H{x_1}{y_1} + By_1^2|}}{{\sqrt {{{(A – B)}^2} + 4{H^2}} }}$
= $\frac{{{b^2}x_1^2 – {a^2}y_1^2}}{{\sqrt {{{({b^2} + {a^2})}^2}} }} = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}$.
