माना $a > 0, b > 0$ है। माना अतिपरवलय $\frac{ x ^2}{ a ^2}-\frac{ y ^2}{ b ^2}=1$ की उत्केन्द्रता तथा नाभिलम्ब की लम्बाई क्रमशः $e$ तथा $\ell$ है। माना इसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केन्द्रता तथा नाभिलम्ब की लम्बाई क्रमशः $e^{\prime}$ तथा $\ell^{\prime}$ है। यदि $e ^2=\frac{11}{14} \ell$ तथा $\left( e ^{\prime}\right)^2=\frac{11}{8} \ell^{\prime}$ है, तो $77 a +$ $44 b$ का मान है

वक्रों $C _1: \frac{ x ^2}{4}+\frac{ y ^2}{9}=1$ तथा $C _2: \frac{ x ^2}{42}-\frac{ y ^2}{143}=1$ की एक ऊभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $T$ चतुर्थ चतुर्थाश से होकर नहीं जाती। यदि $T$ वक्र $C _1$ को $\left( x _1, y _1\right)$ पर तथा वक्र $C _2$ को $\left( x _2, y _2\right)$ पर स्पर्श करती है, तो $\left|2 x _1+ x _2\right|$ बराबर है $..........$

माना कि $H: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, जहाँ $a>b>0, x y$ - समतल (plane) में एक ऐसा अतिपरवलय (hyperbola) है जिसका संयुग्मी अक्ष (conjugate axis) $L M$ उसके एक शीर्ष (vertex) $N$ पर $60^{\circ}$ का कोण (angle) अंतरित (subtend) करता है। माना कि त्रिभुज (triangle) $L M N$ का क्षेत्रफल (area) $4 \sqrt{3}$ है।

दिए हुए विकल्पों मे से सही विकल्प है:

माना दीर्घवृत्त, $\frac{ x ^{2}}{25}+\frac{ y ^{2}}{ b ^{2}}=1( b <5)$ तथा अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की उत्केन्द्रताएँ क्रमशः $e_{1}$ तथा $e_{2}$ है और $e_{1} e_{2}$ $=1$ है। यदि दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के नाभिकेन्दों के बीच की दूरीयाँ क्रमशः $\alpha$ तथा $\beta$ हैं, तो क्रमित युग्म $(\alpha, \beta)$ बराबर है

एक अविपरवलय बिंदु $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ से होकर जाता है, तथा उसकी नाभियाँ $(\pm 2,0)$ पर है, तो अतिपरवलय के बिंदु $P$ पर खींची गई स्पर्शरिखा जिस बिंदु से होकर जाती है, वह है:

अतिपरवलय $x ^{2}- y ^{2}=4$ की उन जीवाओं, जो परवलय $y ^{2}=8 x$ को स्पर्श करती है, के मध्य बिन्दुओं का बिन्दुपथ है।