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एक समान्तर पट्टिका संधारित्र की पट्टिकाओं के बीच का स्थान एक परावैद्युत से भरा जाता है जिसका परावैद्युत स्थिरांक दूरी के साथ निम्न सम्बन्ध अनुसार परिवर्तित होता है :
$K (x)= K _{ o }+\lambda x(\lambda=$ एक स्थिरांक $)$
संधारित्र की धारिता $C$, इसकी निर्वात धारिता, $C _{ O }$ के साथ निम्न सम्बन्ध अनुसार सम्बन्धित होगी
$C\, = \,\frac{{\lambda d}}{{\ln \,(1 + {K_0}\lambda d)}}{C_0}$
$C\, = \,\frac{{\lambda }}{{d.\ln \,(1 + {K_0}\lambda d)}}{C_0}$
$C\, = \,\frac{{\lambda d}}{{\ln \,(1 + \lambda d/{K_0})}}{C_0}$
$C\, = \,\frac{\lambda }{{d.\ln \,(1 + {K_0}/\lambda d)}}{C_0}$
Solution
The value of diclectric constant is given as
$\mathrm{K}=\mathrm{K}_{0}+\lambda \mathrm{x}$
And, $\mathrm{V}=\int_{0}^{\mathrm{d}} \mathrm{Edr}$
$\mathrm{v}=\int_{0}^{\mathrm{d}} \frac{\sigma}{\mathrm{K}} \mathrm{dx}$
${=\sigma \int_{0}^{d} \frac{1}{\left(K_{0}+\lambda x\right.} d x}$
${=\frac{\sigma}{\lambda}\left[\ln \left(K_{0}+\lambda d-\ln K_{0}\right]\right.}$
${=\frac{\sigma}{\lambda} \ln \left(1+\frac{\lambda d}{K_{0}}\right)}$
Now it is given that capacitance of vacuum $=1$
Thus, $C=\frac{Q}{V}$
$=\frac{\sigma . s}{v}$ (Let surface area of plates $=$ $s$)
$=\frac{\sigma}{\lambda} \ln \left(1+\frac{\lambda \mathrm{d}}{\mathrm{K}_{0}}\right)$
$ = \operatorname{s} \,\lambda \,\frac{d}{d}\frac{1}{{\ln \left( {1 + \frac{{\lambda d}}{{{K_0}}}} \right)}}\left( {\because {\text{ in vacuum }}{\varepsilon _0} = } \right.$
$c=\frac{\lambda d}{\ln \left(1+\frac{\lambda d}{K_{0}}\right)} \cdot C_{0}\left(\text { here, } C_{0}=\frac{s}{d}\right)$
