The value of diclectric constant is given as $\mathrm{K}=\mathrm{K}_{0}+\lambda \mathrm{x}$ And, $\mathrm{V}=\int_{0}^{\mathrm{d}} \mathrm{Edr}$

$C\, = \,\frac{{\lambda d}}{{\ln \,(1 + \lambda d/{K_0})}}{C_0}$

The value of diclectric constant is given as $\mathrm{K}=\mathrm{K}_{0}+\lambda \mathrm{x}$ And, $\mathrm{V}=\int_{0}^{\mathrm{d}} \mathrm{Edr}$ $\mathrm{v}=\int_{0}^{\mathrm{d}} \frac{\sigma}{\mathrm{K}} \mathrm{dx}$ ${=\sigma \int_{0}^{d} \frac{1}{\left(K_{0}+\lambda x\right.} d x}$ ${=\frac{\sigma}{\lambda}\left[\ln \left(K_{0}+\lambda d-\ln K_{0}\right]\right.}$ ${=\frac{\sigma}{\lambda} \ln \left(1+\frac{\lambda d}{K_{0}}\right)}$ Now it is given that capacitance of vacuum $=1$ Thus, $C=\frac{Q}{V}$ $=\frac{\sigma . s}{v}$ (Let surface area of plates $=$ $s$) $=\frac{\sigma}{\lambda} \ln \left(1+\frac{\lambda \mathrm{d}}{\mathrm{K}_{0}}\right)$ $ = \operatorname{s} \,\lambda \,\frac{d}{d}\frac{1}{{\ln \left( {1 + \frac{{\lambda d}}{{{K_0}}}} \right)}}\left( {\because {\text{ in vacuum }}{\varepsilon _0} = } \right.$ $c=\frac{\lambda d}{\ln \left(1+\frac{\lambda d}{K_{0}}\right)} \cdot C_{0}\left(\text { here, } C_{0}=\frac{s}{d}\right)$

2. Electric Potential and CapacitanceDifficult

एक समान्तर पट्टिका संधारित्र की पट्टिकाओं के बीच का स्थान एक परावैद्युत से भरा जाता है जिसका परावैद्युत स्थिरांक दूरी के साथ निम्न सम्बन्ध अनुसार परिवर्तित होता है :

$K (x)= K _{ o }+\lambda x(\lambda=$ एक स्थिरांक $)$

संधारित्र की धारिता $C$, इसकी निर्वात धारिता, $C _{ O }$ के साथ निम्न सम्बन्ध अनुसार सम्बन्धित होगी

[JEE MAIN 2014]

A
$C\, = \,\frac{{\lambda d}}{{\ln \,(1 + {K_0}\lambda d)}}{C_0}$
B
$C\, = \,\frac{{\lambda }}{{d.\ln \,(1 + {K_0}\lambda d)}}{C_0}$
C
$C\, = \,\frac{{\lambda d}}{{\ln \,(1 + \lambda d/{K_0})}}{C_0}$
D
$C\, = \,\frac{\lambda }{{d.\ln \,(1 + {K_0}/\lambda d)}}{C_0}$

Std 12
Physics

एक समान्तर-पट्टिका संधारित्र की पट्टिकाओं के मध्य $1$ मिलीमीटर मोटा और परावैद्युतांक $4$ वाला कागज लगा हुआ है। $100$ वोल्ट पर इसे आवेशित किया गया है। इस संधारित्र की पट्टिकाओं के मध्य विद्युत क्षेत्र का मान वोल्ट/मीटर में होगा

Easy

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एक समान्तर पट्टिका संधारित्र की पट्टिकाओं का क्षेत्रफल $S$ तथा पट्टिकाओं के वीच में दूरी $d$ है तथा इसकी वायु में धारिता $C _1$ है। जब पट्टिकाओं के मध्य दो अलग-अलग सापेक्ष परावैद्युतांकों $\left(\varepsilon_1=2\right.$ तथा $\left.\varepsilon_2=4\right)$ के पराविधुत पदार्थ दर्शाये चित्रानुसार रखे जाते है तब इस प्रकार बने नये संधातित्र की धारिता $C _2$ हो जाती है। तब अनुपात $\frac{ C _2}{ C _1}$ है।

Medium

[IIT 2015]

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तीन एकसमान संधारित्रों (identical capacitors) $C_1, C_2$ और $C_3$ में प्रत्येक की धारिता $1.0 \mu F$ है और शुरुआत में तीनों संधारित्र अनावेशित (uncharged) हैं। तीनों संधरित्रों को, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है, एक परिपथ (circuit) में जोड़ा गया है और उसके बाद $C_1$ में $\epsilon_{ r }$ सापेक्ष परावैद्युतांक (relative permittivity) का एक पराविधुत (dielectric) पदार्थ पूर्णतः भरा जाता है। सेल (cell) का विधुत वाहक बल (electromotive force, emf) $V_0=8 V$ है। शुरुआत में कुंजी (switch) $S_1$ बंद है और कुंजी $S_2$ खुली है। संधारित्र $C_3$ के पूरी तरह आवेशित (charged) होने के बाद, एक ही पल मे एक साथ (simultaneously) कुंजी $S_1$ को खोल दिया जाता है और कुंजी $S_2$ को बंद कर दिया जाता है। जब सभी संधारित्र साम्यावस्था (equilibrium) में आ जाते हैं, तब संधारित्र $C_3$ पर $5 \mu C$ का आवेश पाया जाता है। $\epsilon_r$ का मान .......... है।

Advanced

[IIT 2018]

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एक समान्तर प्लेट संधारित्र को किसी तेल में डुबाया गया है। इस तेल का परावैद्युतांक $2$ है, तो प्लेटों के मध्य क्षेत्र का मान में परिवर्तन है

Easy

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$C$ एवं $3 C$ धारिताओं वाले दो समानान्तर पट्टिका संधारित्र पार्श्व क्रम में संयोजित हैं, एवं $18\,V$ के विभवान्तर तक आवेशित किए जाते हैं। फिर बैट्री हटा दी जाती है, एवं $C$ धारिता वाले संधारित्र की पट्टिकाओं के बीच, $9$ परावैद्युत स्थिरांक वाला पदार्थ पूर्णतः भर दिया जाता है। दोनों संधारित्रों के बीच अंतिम विभवान्तर $..........V$ होगा।

Difficult

[JEE MAIN 2022]

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