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8. Sequences and Series
hard
तीन समान्तर श्रेणियों के $n$ पदों के योगफल${S_1},\;{S_2},\;{S_3}$ हैं जिनके प्रथम पद $1$ और सार्वअन्तर क्रमश: $1, 2, 3$ हैं, तो सत्य सम्बन्ध होगा
A
${S_1} + {S_3} = {S_2}$
B
${S_1} + {S_3} = 2{S_2}$
C
${S_1} + {S_2} = 2{S_3}$
D
${S_1} + {S_2} = {S_3}$
Solution
(b) यहाँ ${a_1} = {a_2} = {a_3} = 1$
एवं ${d_1} = 1,\;{d_2} = 2,\;{d_3} = 3$
अत: ${S_1} = \frac{n}{2}(n + 1)$ …..(i)
${S_2} = \frac{n}{2}[2n]$ …..(ii)
${S_3} = \frac{n}{2}[3n – 1]$ ……(iii)
(i) व (iii) को जोड़ने पर,
${S_1} + {S_3} = \frac{n}{2}[(n + 1) + (3n – 1)] $
$= 2\left[ {\frac{n}{2}(2n)} \right] = 2{S_2}$
अत: सही सम्बन्ध ${S_1} + {S_3} = 2{S_2}$ है।
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