दो समांतर श्रेढ़ियों के $n$ पदों के योगफल का अनुपात $5 n+4: 9 n+6 .$ हो, तो उनके $18$ वे पदों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Let $a_{1}, a_{2}$ and $d_{1}, d_{2}$ be the first terms and the common difference of the first and second arithmetic progression respectively.
According to the given condition,
$\frac{{{\rm{ Sum }}\,\,{\rm{of }}\,\,n\,\,{\rm{ terms }}\,\,{\rm{of}}\,\,{\rm{ first}}\,\,{\rm{ A}}{\rm{.P}}{\rm{. }}}}{{{\rm{ Sum}}\,\,{\rm{ of }}\,\,n{\rm{ }}\,\,{\rm{terms }}\,\,{\rm{of }}\,\,{\rm{second}}\,\,{\rm{ A}}{\rm{.P}}{\rm{. }}}} = \frac{{5n + 4}}{{9n + 6}}$
$\Rightarrow \frac{\frac{n}{2}\left[2 a_{1}+(n-1) d_{1}\right]}{\frac{n}{2}\left[2 a_{2}+(n-1) d_{2}\right]}=\frac{5 n+4}{9 n+6}$
$\Rightarrow \frac{2 a_{1}+(n-1) d_{1}}{2 a_{2}+(n-1) d_{2}}=\frac{5 n+4}{9 n+5}$ ..........$(1)$
Substituting $n=35$ in $(1),$ we obtain
$\frac{2 a_{1}+34 d_{1}}{2 a_{2}+34 d_{2}}=\frac{5(35)+4}{9(35)+6}$
$\Rightarrow \frac{a_{1}+17 d_{1}}{a_{2}+17 d_{2}}=\frac{179}{321}$ ...........$(2)$
$\frac{{{{18}^{th}}\,\,{\rm{ term}}\,\,{\rm{of}}\,\,{\rm{ first }}}}{{{{18}^{th}}\,\,{\rm{ term }}\,\,{\rm{of }}\,\,{\rm{second}}\,\,{\rm{ A}}{\rm{.P}}{\rm{. }}}} = \frac{{{a_1} + 17{d_1}}}{{{a_2} + 17{d_2}}}$ ............$(3)$
From $(2)$ and $(3),$ we obtain
$\frac{{{{18}^{{\rm{th }}}}\,\,{\rm{ term}}\,\,{\rm{ of }}\,\,{\rm{first }}}}{{{{18}^{{\rm{th }}}}\,\,{\rm{ term }}\,\,{\rm{of}}\,\,{\rm{ second }}\,\,{\rm{A}}{\rm{.P}}{\rm{. }}}} = \frac{{179}}{{321}}$
Thus, the ratio of $18^{\text {th }}$ term of both the $A.P.$s is $179: 321 .$
एक समान्तर श्रेणी का छठवां पद $2$ के बराबर है, तब गुणनफल ${a_1}{a_4}{a_5}$ को न्यूनतम बनाने वाला समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर है
यदि समान्तर श्रेणी का $p$ वाँ पद $q$ और $q$ वाँ पद $p$ है, तो $r$ वाँ पद होगा
यदि $\log _e a, \log _e b, \log _e c$ एक $A.P.$ में हैं तथा $\log _e a-\log _e 2 b, \log _e 2 b-\log _e 3 c, \log _e 3 c-\log _e a$ भी एक $A.P.$ में हैं, तो $a: b: c$ बराबर है ..................
अनुक्रम $\frac{5}{{\sqrt 7 }}$, $\frac{6}{{\sqrt 7 }}$, $\sqrt 7 $....... है
श्रेणियों $3+7+11+15+\ldots$ तथा $1+6+11+16+\ldots \ldots$, के बीच उभयनिष्ठ प्रथम $20$ पदों का योग है