दीर्घवृत्त $3 x ^{2}+5 y ^{2}=32$ के बिन्दु $P (2,2)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा तथा अभिलंब, $x$-अक्ष को क्रमशः $Q$ तथा $R$ पर काटते है। तो त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) हैं

दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{{27}} + {y^2} = 1$ के बिन्दु $(3\sqrt 3 \cos \theta ,\;\sin \theta )$ पर स्पर्श खींची गयी है। ( जहाँ $\theta  \in (0,\;\pi /2)$ तब $\theta $ के किस मान के लिए स्पर्श द्वारा अक्षों पर काटे गये अंत:खण्डो का योग न्यूनतम होगा

माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$ के बिंदु $(3 \sqrt{3}, 1)$ पर स्पर्श रेखा तथा अभिलंब $\mathrm{y}$-अक्ष को क्रमशः बिंदुओं $\mathrm{A}$ तथा $B$ पर मिलते हैं। माना $A B$ को एक व्यास लेकर खींचा गया वृत्त $C$ है तथा रेखा $x=2 \sqrt{5}$, वृत्त $C$ को बिंदुओं $\mathrm{P}$ तथा $\mathrm{Q}$ पर काटती है। यदि वृत्त के बिंदुओं $P$ तथा $Q$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(\alpha, \beta)$ है, तो $\alpha^2-\beta^2$ बराबर है

दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ व सरल रेखा $y = mx + c$ वास्तविक बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं यदि

यदि दीर्घवृत्त का केन्द्र $(0, 0)$, एक नाभि $(0, 3)$ तथा अर्ध दीर्घ अक्ष $5$ हो, तो उसका समीकरण है   

बिन्दु $(h, 0)$ से गुजरने वाली ऊर्र्वाधर रेखा दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ को बिन्दुओं $P$ तथा $Q$ पर काटती है। माना कि बिन्दुओं $P$ तथा $Q$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखाएँ बिन्दु $R$ पर मिलती है। यदि $\Delta(h)=$ त्रिभुज $P Q R$ का क्षेत्रफल $\Delta_1=\max _{1 / 2 \leq h \leq 1} \Delta(h)$ और $\Delta_2=\min _{1 / 2 \leq h \leq 1} \Delta(h)$ है, तब $\frac{8}{\sqrt{5}} \Delta_1-8 \Delta_2=$