दीर्घवृत्त 3 x ^{2}+5 y ^{2}=32 के बिन्दु P (2,2) पर खी?

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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

hard

दीर्घवृत्त $3 x ^{2}+5 y ^{2}=32$ के बिन्दु $P (2,2)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा तथा अभिलंब, $x$-अक्ष को क्रमशः $Q$ तथा $R$ पर काटते है। तो त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) हैं

A

$\frac {34}{15}$

B

$\frac {68}{15}$

C

$\frac {14}{3}$

D

$\frac {16}{3}$

(JEE MAIN-2019)

Solution

$3{x^2} + 5{y^2} = 32$

${\left. {\frac{{dy}}{{dx}}} \right|_{\left( {2,2} \right)}} = – \frac{3}{5}$

tengent $:y – 2 = – \frac{3}{5}\left( {x – 2} \right) \Rightarrow Q\left( {\frac{{16}}{3},0} \right)$

Normal $:y – 2 = – \frac{5}{3}\left( {x – 2} \right) \Rightarrow R\left( {\frac{4}{5},0} \right)$

Area is $ = \frac{1}{2}\left( {QR} \right) \times 2 = \frac{{68}}{{15}}$

Standard 11

Mathematics

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माना एक दीर्घवृत्त, जिसका दीर्घ-अक्ष $X$-अक्ष के अनुदिश है तथा केंद्र मूलबिन्दु पर है, के नाभिलम्ब की लंबाई $8$ है। यदि दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी, इसके लघु-अक्ष की लंबाई के समान हो, तो निम्न में से कौन-सा बिन्दु इस पर स्थित है ?

hard

(JEE MAIN-2019)

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medium

(JEE MAIN-2021)

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medium

(IIT-1998)

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($1$) त्रिभुज $F_1 M N$ का लंबकेन्द्र (orthocentre) है

$(A)$ $\left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ $(B)$ $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ $(C)$ $\left(\frac{9}{10}, 0\right)$ $(D)$ $\left(\frac{2}{3}, \sqrt{6}\right).$

($2$) यदि दीर्घवृत्त के बिन्दुओं $M$ और $N$ पर स्परिखाएँ (tangents) $R$ पर मिलती हैं और परवलय के बिन्दु $M$ पर अभिलंब $x$-अक्ष को $Q$ पर मिलता है, तब त्रिभुज $M Q R$ के क्षेत्रफल और चतुर्भुज (quadrilateral) $M F_1 N F_2$ के क्षेत्रफल का अनुपात (ratio) है

$(A)$ $3: 4$ $(B)$ $4: 5$ $(C)$ $\sec 5: 8$ $(D)$ $2: 3$

दिये गए सवाल का जवाब दीजिये ($1$) और ($2$)

normal

(IIT-2016)

किसी दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी $6$ व लघुअक्ष $8$ है तो इसकी उत्केन्द्रता होगी

easy