एक गुणोत्तर श्रेणी का तीसरा पद, पहले पद का वर्ग है। यदि दूसरा पद $8$ है, तब छँठा पद है

माना $n =1,2, \ldots ., 50$ के लिए, अनन्त गुणोत्तर श्रेणी का योगफल $S _{ n }$ है जिसका प्रथम पद $n ^2$ तथा जिसका सार्व अनुपात $\frac{1}{(n+1)^2}$ है। तब $\frac{1}{26}+\sum_{ n =1}^{50}\left( S _{ n }+\frac{2}{ n +1}- n -1\right)$ का मान है

संख्याओं $1$ व $64$ के मध्य दो गुणोत्तर माध्य क्रमश: होंगे

माना $\left\{a_{\mathrm{k}}\right\}$ तथा $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{k}}\right\}, \mathrm{k} \in \mathbb{N}$, दो G.P. है, जिनके सार्व अनुपात क्रमशः $r_1$ तथा $r_2$ है और $a_1=b_1=4$, $\mathrm{r}_1<\mathrm{r}_2$ है। माना $\mathrm{c}_{\mathrm{k}}=\mathrm{a}_{\mathrm{k}}+\mathrm{b}_{\mathrm{k}}, \mathrm{k} \in \mathbb{N}$ है। यदि $\mathrm{c}_2=5$ तथा $\mathrm{c}_3=\frac{13}{4}$ है तो $\sum_{\mathrm{k}=1}^{\infty} \mathrm{c}_{\mathrm{k}}-\left(12 \mathrm{a}_6+8 \mathrm{~b}_4\right)$ बराबर है________. 

यदि $p,\;q,\;r$ एक गुणोत्तर श्रेणी में हैं तथा $a,\;b,\;c$ एक अन्य गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तब $cp,\;bq,\;ar$ होंगे

माना $x _1, X _2, x _3, \ldots, x _{20}$ एक गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं, जिसमें $x _1=3$ तथा सार्व अनुपात $\frac{1}{2}$ है। प्रत्येक $x _{ i }$ की जगह $\left( x _{ i }- i \right)^2$ लेकर नये आंकड़ें बनाए जाते हैं। यदि नये आंकड़ों का माध्य $\overline{ x }$ है तो महत्तम पूर्णाक $\leq \overline{ x }$ है $..........$ I