3 and 4 .Determinants and Matrices
hard

ધારો ક $A.P$. (સમાંતર શ્રેણી) ના ત્રણ ભિત્ર  ક્રમિક પદો $a, b, c$ માટે રેખાઓ$a x+b y+c=0$ બિંદુ $\mathrm{P}$ પર સંગામી થાય છે તથા $\mathrm{Q}(\alpha, \beta)$ એવું બિંદુ છે કે જેથી સમીકરણ સંહતિ  $x+y+z=6 \text {, }$  ,  $2 x+5 y+\alpha z=\beta $ અને  $x+2 y+3 z=4 $ ને અનંત ઉકેલો મળે. તો $(\mathrm{PQ})^2=. . . .  .  $

A

$123$

B

$113$

C

$421$

D

$131$

(JEE MAIN-2024)

Solution

$\because \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ and in $A.P$

$\Rightarrow 2 \mathrm{~b}=\mathrm{a}+\mathrm{c} \Rightarrow \mathrm{a}-2 \mathrm{~b}+\mathrm{c}=0$

$\therefore \mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{c}$ passes through fixed point $(1,-2)$

$\therefore \mathrm{P}=(1,-2)$

For infinite solution,

$\mathrm{D}=\mathrm{D}_1=\mathrm{D}_2=\mathrm{D}_3=0$

$\mathrm{D}:\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & \alpha \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|=0$

$\Rightarrow \alpha=8$

$D_1:\left|\begin{array}{lll}6 & 1 & 1 \\ \beta & 5 & \alpha \\ 4 & 2 & 3\end{array}\right|=0 \Rightarrow \beta=6$

$ \therefore Q=(8,6) $

$ \therefore P Q^2=113$

Standard 12
Mathematics

Similar Questions

Start a Free Trial Now

Confusing about what to choose? Our team will schedule a demo shortly.