$4 \{^nC_1 + 4 . ^nC_2 + 4^2 . ^nC_3 + ...... + 4^{n - 1}\}$ ની કિમત મેળવો 

જો ${\left( {1 + x} \right)^n} = {c_0} + {c_1}x + {c_2}{x^2} + {c_3}{x^3} + ...... + {c_n}{x^n}$ , હોય તો ${c_0} - 3{c_1} + 5{c_2} - ........ + {( - 1)^n}\,(2n + 1){c_n}$ ની કિમત મેળવો 

અહી ${ }^{n} C_{r}$ એ $(1+ x )^{ n }$ ના વિસ્તરણમાં $x^{r}$ નો સહગુણક દર્શાવે છે. જો $\sum_{ k =0}^{10}\left(2^{2}+3 k \right){ }^{ n } C _{ k }=\alpha .3^{10}+\beta \cdot 2^{10}, \alpha, \beta \in R$ તો $\alpha+\beta$ ની કિમંત મેળવો.

$n\left[ {x - \left( {\frac{{^n{C_0}{ + ^n}{C_1}}}{{^n{C_0}}}} \right)} \right]\left[ {\frac{x}{2} - \left( {\frac{{^n{C_1}{ + ^n}{C_2}}}{{^n{C_1}}}} \right)} \right]\left[ {\frac{x}{3} - \left( {\frac{{^n{C_2}{ + ^n}{C_3}}}{{^n{C_2}}}} \right)} \right].....$ $ \left[ {\frac{x}{n} - \left( {\frac{{^n{C_{n - 1}}{ + ^n}{C_n}}}{{^n{C_{n - 1}}}}} \right)} \right]$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n-6}$ નો સહગુણક મેળવો 

(જ્યાં $n = n . (n -1) . (n -2).... 3.2.1$)

 જો  $(\mathrm{x}+3)^{\mathrm{n}-1}+(\mathrm{x}+3)^{\mathrm{n}-2}(\mathrm{x}+2)+ $ $ (\mathrm{x}+3)^{\mathrm{n}-3}(\mathrm{x}+2)^2+\ldots . .+(\mathrm{x}+2)^{\mathrm{n}-1}$ માં $x^r$ નો સહગુણક $\alpha_{\mathrm{r}}$ છે. જો $\sum_{\mathrm{r}-0}^{\mathrm{n}} \alpha_{\mathrm{r}}=\beta^{\mathrm{n}}-\gamma^{\mathrm{n}}, \beta, \gamma \in \mathrm{N}$, તો $\beta^2+\gamma^2=$.................. 

ધારોકે $\sum \limits_{r=0}^{2023} r^{2023} C_r=2023 \times \alpha \times 2^{2022}$, તો $\alpha$ નું મૂલ્ય $............$ છે.