જો $\left(1+\frac{1}{x}\right)^6\left(1+x^2\right)^7\left(1-x^3\right)^8 ; x \neq 0$ ના વિસ્તરણમાં $x^{30}$ નો સહગુણક $\alpha$ હોય, તો $|\alpha|=$......................

જો ${}^{21}{C_1} + 3.{}^{21}{C_3} + 5.{}^{21}{C_5} + ......19{}^{21}{C_{19}} + 21.{}^{21}{C_{21}} = k$ હોય તો $k$ નો અવિભાજય અવયવ મેળવો 

જો ${ }^{20} \mathrm{C}_{\mathrm{r}}$ એ $(1+x)^{20}$ ના વિસ્તરણમાં $\mathrm{x}^{\mathrm{r}}$ નો સહગુણક દર્શાવે છે  તો $\sum_{r=0}^{20} r^{2}\,\,{ }^{20} C_{r}$ ની કિમંત મેળવો.

વિધાન $1$: $\mathop \sum \limits_{r = 0}^n \left( {r + 1} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\r\end{array}} \right) = \left( {n + 2} \right){2^{n - 1}}$

વિધાન $2$:$\;\mathop \sum \limits_{r = 0}^n \left( {r + 1} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\r\end{array}} \right){x^r}\; = {\left( {1 + x} \right)^n} + nx{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}}$

જો ${(1 + x + {x^2})^n}$ ના વિસ્તરણમાં ${a_r}$ એ ${x^r}$ નો સહગુણક દર્શાવે છે ,તો ${a_1} - 2{a_2} + 3{a_3} - .... - 2n\,{a_{2n}} = $

$(x - 1)$$\left( {x\, - \,\frac{1}{2}\,} \right)$$\left( {x\, - \,\frac{1}{{{2^2}}}\,} \right)$ .....$\left( {x\, - \,\frac{1}{{{2^{49}}}}\,} \right)$ ના વિસ્તરણમાં $x^{49}$ નો સહગુણક મેળવો