यदि रैखिक समीकरणों के निकाय $x + 2ay + az = 0,$ $x + 3by + bz = 0,$ $x + 4cy + cz = 0$ का अशून्य हल हो तो  $a,b,c$ हैं

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :

$\left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ x^{2} & 1 & x \\ x & x^{2} & 1\end{array}\right|=\left(1-x^{3}\right)^{2}$

यदि $a + x = b + y = c + z +1$ है, जहाँ $a , b , c , x$, $y , z$ शून्येत्तर भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं , तो $\left|\begin{array}{lll} x & a + y & x + a \\ y & b + y & y + b \\ z & c + y & z + c \end{array}\right|$ बराबर है 

सिद्ध कीजिए कि सारणिक

$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}
a+b x & c+d x & p+q x \\
a x+b & c x+d & p x+q \\
u & v & w
\end{array}\right|=\left(1-x^{2}\right)\left|\begin{array}{lll}
a & c & p \\
b & d & q \\
u & v & m
\end{array}\right|$

यदि $a, b, c$ समांतर श्रेढ़ी में हों तो सारणिक

$\left|\begin{array}{lll}x+2 & x+3 & x+2 a \\ x+3 & x+4 & x+2 b \\ x+4 & x+5 & x+2 c\end{array}\right|$ का मान होगा|: