एक प्रश्नपत्र में $3$ खण्ड हैं तथा प्रत्येक खण्ड में $5$ प्रश्न हैं। एक परीक्षार्थी को प्रत्येक खण्ड में से कम से कम एक प्रश्न चुनकर कुल $5$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं, तो परीक्षार्थी द्वारा इन प्रश्नों को चुनने के तरीकों की संख्या है-

टीम ' $A$ ' में $7$ लड़के तथा $n$ लड़कियोँ है तथा टीम ' $B$ ' में $4$ लड़के तथा $6$ लड़कियों है। यदि इन दो टीम के बीच कुल $52$ एकल मैच आयोजित किए जा सकते हैं, जब एक लड़का, एक लड़के के विरूद्ध खेलता है तथा एक लड़की, एक लड़की के विरुद्ध खेलती है, तो $n$ बराबर है

किसी पार्टी में $15$ व्यक्ति हैं तथा प्रत्येक व्यक्ति एक दूसरे से हाथ मिलाता है, तब हस्त मिलनों की कुल संख्या होगी

यदि $x,\;y$ तथा $r$ धनात्मक पूर्णांक हैं, तब $^x{C_r}{ + ^x}{C_{r - 1}}^y{C_1}{ + ^x}{C_{r - 2}}^y{C_2} + .......{ + ^y}{C_r} = $

अऋणात्मक पूर्णांको $s$ तथा $r$ के लिये, माना $\binom{s}{r}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{s!}{r!(s-r)!} & \text { if } r \leq s \\ 0 & \text { if } r>s\end{array}\right.$

धनात्मक पूर्णांकों $m$ तथा $n$ के लिये, माना $(m, n) \sum_{ p =0}^{ m + n } \frac{ f ( m , n , p )}{\binom{ n + p }{ p }}$ जहाँ किसी अॠणात्मक पूर्णांक $p$, के लिये

$f(m, n, p)=\sum_{i=0}^{ p }\binom{m}{i}\binom{n+i}{p}\binom{p+n}{p-i}$ तब निम्न में से कौनसा/कौनसे कथन सत्य होगा/होंगे?

$(A)$ सभी धनात्मक पूर्णांको $m$, के लिये $g ( m , n )= g ( n , m )$ होगा।

$(B)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m , n$ के लिये $g ( m , n +1)= g ( m +1, n )$ होगा।

$(C)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m , n$ के लिये $g (2 m , 2 n )=2 g ( m , n )$ होगा।

$(D)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m , n$ के लिये $g (2 m , 2 n )=( g ( m , n ))^2$ होगा।

$22$ खिलाड़ियों में से $10$ खिलाड़ियों की एक टीम कितने प्रकार से बनाई जा सकती है, जबकि $6$ विशेष खिलाड़ी सदैव टीम में सम्मिलित रहें तथा $4$ विशेष खिलाड़ी सदैव टीम से बाहर रहें