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3-1.Vectors
hard
तीन कण $P , Q$ और $R$ क्रमशः सदिशों $\overrightarrow{ A }=\hat{ i }+\hat{ j }, \overrightarrow{ B }=\hat{ j }+\hat{ k }$ और $\overrightarrow{ C }=-\hat{ i }+\hat{ j }$ के अनुदिश गमन कर रहे है। ये किसी बिन्दु पर टकराते है और विभिन्न दिशाओं में गमन करना आरम्भ कर देते है। कण $P$ उस तल के अभिलम्बवत भी गमन करता है जिसमें सदिश $\overrightarrow{ A }$ और $\overrightarrow{ B }$ है। इसी प्रकार कण $Q$ उस तल के अभिलम्बवत गति कर रहा है जिसमें सदिश $\overrightarrow{ A }$ और $\overrightarrow{ C }$ है। $P$ और $Q$ की गति की दिशाओं के बीच कोण $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$ है। तो $x$ का मान $\dots$ है
A$11$
B$47$
C$5$
D$3$
(JEE MAIN-2021)
Solution
Direction of $P=\hat{v}_{1}=\pm \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|}=\pm \frac{\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{3}}$
Direction of $Q=\hat{v}_{2}=\pm \frac{\vec{A} \times \vec{C}}{|\vec{A} \times \vec{C}|}=\pm \frac{2 \hat{k}}{2}=\pm \hat{k}$
Angle between $\hat{v}_{1}$ and $\hat{v}_{2}$
$\cos \theta = \frac{\hat{v}_{1}, \hat{v}_{2}}{\left|\hat{v}_{1}\right|\left|\hat{v}_{2}\right|}=\frac{\pm 1 / \sqrt{3}}{(1)(1)}=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow x=3$
Direction of $Q=\hat{v}_{2}=\pm \frac{\vec{A} \times \vec{C}}{|\vec{A} \times \vec{C}|}=\pm \frac{2 \hat{k}}{2}=\pm \hat{k}$
Angle between $\hat{v}_{1}$ and $\hat{v}_{2}$
$\cos \theta = \frac{\hat{v}_{1}, \hat{v}_{2}}{\left|\hat{v}_{1}\right|\left|\hat{v}_{2}\right|}=\frac{\pm 1 / \sqrt{3}}{(1)(1)}=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow x=3$
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