- Home
- Standard 12
- Physics
બે રેડિઓએક્ટિવ પદાર્થો $A$ અને $B$ ના ક્ષય-નિયતાંક અનુક્રમે $5\lambda$ અને $\lambda$ છે. $t=0$ સમયે તેમના ન્યુકિલયસોની સંખ્યા સમાન હોય,તો કેટલા સમયના અંતરાલ પછી $A$ અને $B$ ના ન્યુકિલયસોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{1}{{{e^2}}}$ થશે?
$4λ$
$2λ$
$\frac{1}{{2\lambda }}$
$\;\frac{1}{{4\lambda }}$
Solution
Given : $\lambda_{A}=5 \lambda$, $\lambda_{B}=\lambda$
At $t=0,\left(N_{0}\right)_{A}=\left(N_{0}\right)_{B}$
$\frac{N_{A}}{N_{B}}=\left(\frac{1}{e}\right)^{2}$
According to radioactive decay, $\frac{N}{N_{0}}=e^{-\lambda t}$
$\therefore \,\frac{N_{A}}{\left(N_{0}\right)_{A}} =e^{-\lambda_{A} t} $ ….. $(i)$
$\frac{N_{B}}{\left(N_{0}\right)_{B}} =e^{-\lambda_{B} t}$ ….. $(ii)$
Divide $(i)$ by $(ii)$, we get
$\frac{N_{A}}{N_{B}}=e^{-\left(\lambda_{A}-\lambda_{B}\right) t}$ or, $\frac{N_{A}}{N_{B}}=e^{-(5 \lambda-\lambda) t}$
or, $\left(\frac{1}{e}\right)^{2}=e^{-4 \lambda t}$ or, $\left(\frac{1}{e}\right)^{2}=\left(\frac{1}{e}\right)^{4 \lambda t}$
or, $4 \lambda t=2$ $ \Rightarrow \quad t=\frac{2}{4 \lambda}=\frac{1}{2 \lambda}$
