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5. Continuity and Differentiation
hard
माना अन्तराल $(-2,2)$ में $f$ तथा $g$ दो बार अवकलनीय समफलन इस प्रकार है कि $f\left(\frac{1}{4}\right)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=0, f(1)=1$ तथा $g\left(\frac{3}{4}\right)=0, g(1)=2$ है। तब अन्तराल $(-2,2)$ में $f$ (x) $g ^{\prime \prime}( x )+ f ^{\prime}( x ) g ^{\prime}( x )=0$ के हलों की न्यूनतम संख्या है।
A
$0$
B
$2$
C
$4$
D
$6$
(JEE MAIN-2022)
Solution
Let $h(x)=f(x) g^{\prime}(x) \rightarrow 5$ roots
$\because f ( x )$ is even $\Rightarrow$
$f \left(\frac{1}{4}\right)= f \left(\frac{1}{2}\right)= f \left(-\frac{1}{2}\right)= f \left(\frac{1}{4}\right)=0$
$g ( x )$ is even $\Rightarrow g \left(\frac{3}{4}\right)= g \left(-\frac{3}{4}\right)=0$
$g ^{\prime}( x )=0$ has minimum one root
$h^{\prime}( x )$ has at last $4$ roots
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