$(1 + x + x^2 + x^3 +.... + x^{100})^3$ ના વિસ્તરણમાં $x^{100}$ નો સહગુણક મેળવો 

$^{10}{C_1}{ + ^{10}}{C_3}{ + ^{10}}{C_5}{ + ^{10}}{C_7}{ + ^{10}}{C_9} = $

 ધારો કે $\alpha=\sum_{r=0}^n\left(4 r^2+2 r+1\right)^n C_r$ અને $\beta=\left(\sum_{r=0}^n \frac{{ }^n C_r}{r+1}\right)+\frac{1}{n+1} \cdot$ જો $140 < \frac{2 \alpha}{\beta}<281$ તો $n$ નું મૂલ્ય .......... છે.

ધારો કે $\mathrm{a}=1+\frac{{ }^2 \mathrm{C}_2}{3!}+\frac{{ }^3 \mathrm{C}_2}{4!}+\frac{{ }^4 \mathrm{C}_2}{5!}+\ldots$, $\mathrm{b}=1+\frac{{ }^1 \mathrm{C}_0+{ }^1 \mathrm{C}_1}{1!}+\frac{{ }^2 \mathrm{C}_0+{ }^2 \mathrm{C}_1+{ }^2 \mathrm{C}_2}{2!}+\frac{{ }^3 \mathrm{C}_0+{ }^3 \mathrm{C}_1+{ }^3 \mathrm{C}_2+{ }^3 \mathrm{C}_3}{3!}+\ldots .$ તો $\frac{2 b}{a^2}=$...........

જો  $\mathrm{b}$ એ  $\mathrm{a}$ ની સાપેક્ષે ઘણો નાનો છે કે જેથી  $\frac{b}{a}$ ની ત્રણ કે તેથી મોટી ઘાતાંકને $\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a-2 b}+\frac{1}{a-3 b} \ldots .+\frac{1}{a-n b}=\alpha n+\beta n^{2}+\gamma n^{3}$ પદાવલિમાં  અવગણી શકાય તો $\gamma$ ની કિમંત મેળવો.

 અભિવ્યક્તિ $(5+x)^{500}+x(5+x)^{499}+x^{2}(5+x)^{498}+\ldots . x^{500}$ $x>0$ માં  $x ^{101}$ નો સહુગુણક ......... છે.