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अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ का केन्द्र $C$ है। इस अतिपरवलय के किसी भी बिन्दु $P$ पर खींची गयी स्पर्श रेखा, सरल रेखाओं $bx - ay = 0$ व $bx + ay = 0$ को क्रमश: $Q$ व $R$ बिन्दुओं पर मिलती है, तो $CQ\;.\;CR = $
${a^2} + {b^2}$
${a^2} - {b^2}$
$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}$
$\frac{1}{{{a^2}}} - \frac{1}{{{b^2}}}$
Solution
(a) $P$$(a\sec \theta ,b\tan \theta )$ है।
$P$ पर स्पर्श $\frac{{x\sec \theta }}{a} – \frac{{y\tan \theta }}{b} = 1$ है।
यह $bx – ay = 0$ अर्थात्, $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$को $Q$ पर मिलती है।
$Q$ $\left( {\frac{a}{{\sec \theta – \tan \theta }},\frac{{ – b}}{{\sec \theta – \tan \theta }}} \right)$ है।
यह $bx + ay = 0$ अर्थात् $\frac{x}{a} = – \frac{y}{b}$ को $R$ पर मिलती है।
$R$ $\left( {\frac{a}{{\sec \theta + \tan \theta }},\frac{{ – b}}{{\sec \theta + \tan \theta }}} \right)$ है।
$CQ.CR = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{(\sec \theta – \tan \theta )}}.\frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{(\sec \theta + \tan \theta )}}$
$ = {a^2} + {b^2}$ $\{ \because {\sec ^2}\theta – {\tan ^2}\theta = 1\} $ .
