$left( {left( {begin{array}{*{20}{c}} {21} 1 end{array}} right)

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Hindi

7.Binomial Theorem

hard

$\left( {\left( {\begin{array}{{20}{c}}
{21}\\
1
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{{20}{c}}
{10}\\
1
\end{array}} \right)} \right) + \left( {\left( {\begin{array}{{20}{c}}
{21}\\
2
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{{20}{c}}
{10}\\
2
\end{array}} \right)} \right)$$ + \left( {\left( {\begin{array}{{20}{c}}
{21}\\
3
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{{20}{c}}
{10}\\
3
\end{array}} \right)} \right) + \;.\;.\;.$$ + \left( {\left( {\begin{array}{{20}{c}}
{21}\\
{10}
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{{20}{c}}
{10}\\
{10}
\end{array}} \right)} \right)$ का मान है:

${2^{20}} - {2^{10}}$

${2^{21}} - {2^{11}}$

${2^{21}} - {2^{10}}$

${2^{20}} - {2^9}$

(JEE MAIN-2017)

Solution

We have $\left(^{21} \mathrm{C}_{1}+^{21} \mathrm{C}_{2} \ldots \ldots+^{21} \mathrm{C}_{10}\right)$

$-\left(^{10} \mathrm{C}_{1}+^{10} \mathrm{C}_{2} \ldots . .^{10} \mathrm{C}_{10}\right)$

$=\frac{1}{2}\left[\left(^{21} \mathrm{C}_{1}+\ldots+^{21} \mathrm{C}_{10}\right)+\left(^{21} \mathrm{C}_{11}+\ldots^{21} \mathrm{C}_{20}\right)\right]-\left(2^{10}-1\right)$

$\left(\because 10 \mathrm{C}_{1}+^{10} \mathrm{C}_{2}+\ldots .+^{10} \mathrm{C}_{10}=2^{10}-1\right)$

$=\frac{1}{2}\left[2^{21}-2\right]-\left(2^{10}-1\right)$

$=\left(2^{20}-1\right)-\left(2^{10}-1\right)=2^{20}-2^{10}$

Standard 11

Mathematics

यदि $\left(1-3 x+10 x^2\right)^n$ के प्रसार में सभी गुणाकों का योग $\mathrm{A}$ है तथा $\left(1+\mathrm{x}^2\right)^n$ के प्रसार में सभी गुणाकों का योग $\mathrm{B}$ है, तो :

medium

(JEE MAIN-2024)

' $x$ ' का एक संभव मान, जिसके लिए व्यंजक $\left\{3^{\log _{3} \sqrt{25^{x-1}+7}}+3^{\left(-\frac{1}{8}\right) \log _{3}\left(5^{x-1}+1\right)}\right\}^{10}$ के $3^{\left(-\frac{1}{8}\right) \log _{3}\left(5^{x-1}+1\right)}$ की बढ़ती घातों में प्रसार में नौवॉँ पद $180$ के बराबर है

hard

(JEE MAIN-2021)

$\frac{{{C_1}}}{2} + \frac{{{C_3}}}{4} + \frac{{{C_5}}}{6} + …..$ का मान है

hard

यदि ${C_0},{C_1},{C_2},…….,{C_n}$ द्विपद गुणांक हो, तो $2.{C_1} + {2^3}.{C_3} + {2^5}.{C_5} + ….$ का $n$ पदों तक मान होगा

medium

यदि $^n{C_r}$ के लिए ${C_r}$ को प्रयुक्त किया जाता हो, तो श्रेणी $\frac{{2(n/2)!(n/2)!}}{{n!}}[C_0^2 – 2C_1^2 + 3C_2^2 – ….. + {( – 1)^n}(n + 1)C_n^2]$,

जहाँ $n$ सम धनात्मक पूर्णांक है, का योग होगा

hard

(IIT-1986)

Solution

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