જો z_1 અને z_2 એ એવી બે સંકર સંખ્યાઓ છે કે જે | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

$\left|z_{1}+z_{2}\right|=1$ and $\left|z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right|=25$

$\because\left(z_{1}+z_{2}\right)^{3}=z_{1}^{3}+z_{2}^{3}+3 z_{1} \cdot z_{2

Vedclass · Accepted Answer

$37$

Vedclass · Answer

$\left|z_{1}+z_{2}\right|=1$ and $\left|z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right|=25$

$\because\left(z_{1}+z_{2}\right)^{3}=z_{1}^{3}+z_{2}^{3}+3 z_{1} \cdot z_{2}\left(z_{1}+z_{2}\right)$

$\Rightarrow z_{1}^{3}+z_{2}^{3}=\left(z_{1}+z_{2}\right)\left(\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}-3 z_{1} z_{2}\right)$

$=\left(z_{1}+z_{2}\right)\left\{\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}-\frac{3}{2}\left(\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}-\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)\right)\right\}$

$=\left(z_{1}+z_{2}\right)\left\{\frac{3}{2}\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)-\frac{1}{2}\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}\right\}$

$\Rightarrow\left|z_{1}^{3}+z_{2}^{3}\right|=\left|z_{1}+z_{2}\right|\left|\frac{3}{2}\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)-\frac{1}{2}\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}\right|$

$ \ge \left| {\frac{3}{2}\left| {z_1^2 + z_2^2} \right| - \frac{1}{2}\left| {{z_1} + {z_2}} \right|} \right| \ge \left| {\frac{3}{2} \cdot 25 - \frac{1}{2}} \right| \ge 37$

જો $z_1$ અને $z_2$ એ એવી બે સંકર સંખ્યાઓ છે કે જેથી $|z_1 + z_2|$ = $1$ અને $\left| {z_1^2 + z_2^2} \right|$ = $25$ થાય તો $\left| {z_1^3 + z_2^3} \right|$ ની ન્યૂનતમ કિમત મેળવો

Similar Questions

જો $arg\,z < 0$ તો $arg\,( - z) - arg\,(z)$ = . . .

અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા શોધો : $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$

જો ${z_1},{z_2},{z_3}$ એ સંકર સંખ્યા છે કે જેથી $|{z_1}|\, = \,|{z_2}|\, = $ $\,|{z_3}|\, = $ $\left| {\frac{1}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}} + \frac{1}{{{z_3}}}} \right| = 1\,,$ તો${\rm{ }}|{z_1} + {z_2} + {z_3}|$ = . ..

બે સંકર સંખ્યા ${z_1}$ અને ${z_2}$ માટે આપેલ પૈકી . . . સત્ય છે .

જો કોઇક સંકર સંખ્યા $z$ માટે $\left| z \right| \ge 2$ થાય,તો $\left| {z + \frac{1}{2}} \right|$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય મેળવો. .