જો z_1 અને z_2 એ એવી બે સંકર સંખ્યાઓ છે કે જે | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

$\left|z_{1}+z_{2}\right|=1$ and $\left|z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right|=25$

$\because\left(z_{1}+z_{2}\right)^{3}=z_{1}^{3}+z_{2}^{3}+3 z_{1} \cdot z_{2

Vedclass · Accepted Answer

$37$

Vedclass · Answer

$\left|z_{1}+z_{2}\right|=1$ and $\left|z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right|=25$

$\because\left(z_{1}+z_{2}\right)^{3}=z_{1}^{3}+z_{2}^{3}+3 z_{1} \cdot z_{2}\left(z_{1}+z_{2}\right)$

$\Rightarrow z_{1}^{3}+z_{2}^{3}=\left(z_{1}+z_{2}\right)\left(\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}-3 z_{1} z_{2}\right)$

$=\left(z_{1}+z_{2}\right)\left\{\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}-\frac{3}{2}\left(\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}-\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)\right)\right\}$

$=\left(z_{1}+z_{2}\right)\left\{\frac{3}{2}\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)-\frac{1}{2}\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}\right\}$

$\Rightarrow\left|z_{1}^{3}+z_{2}^{3}\right|=\left|z_{1}+z_{2}\right|\left|\frac{3}{2}\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)-\frac{1}{2}\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}\right|$

$ \ge \left| {\frac{3}{2}\left| {z_1^2 + z_2^2} \right| - \frac{1}{2}\left| {{z_1} + {z_2}} \right|} \right| \ge \left| {\frac{3}{2} \cdot 25 - \frac{1}{2}} \right| \ge 37$

જો $z_1$ અને $z_2$ એ એવી બે સંકર સંખ્યાઓ છે કે જેથી $|z_1 + z_2|$ = $1$ અને $\left| {z_1^2 + z_2^2} \right|$ = $25$ થાય તો $\left| {z_1^3 + z_2^3} \right|$ ની ન્યૂનતમ કિમત મેળવો

Similar Questions

જો $|z|\, = 1,(z \ne - 1)$ અને $z = x + iy$ તો $\left( {\frac{{z - 1}}{{z + 1}}} \right)$ =. . .

જો $z$ અને $w$ બે સંકર સંખ્યા છે કે જેથી $|z|\, = \,|w|$ અને $arg\,z + arg\,w = \pi $. તો $z$ મેળવો.

જો $|z_1|=1, \, |z_2| =2, \,|z_3|=3$ અને $|9z_1z_2 + 4z_1z_3+z_2z_3| =12$ હોય તો $|z_1+z_2+z_3|$ ની કિમત મેળવો

સમીકરણ $z$, $| z |^2 -(z + \bar{z}) + i(z - \bar{z})$ + $2$ = $0$ ના ઉકેલો મેળવો

$(i = \sqrt{-1})$

જો $z_{1}=2-i, z_{2}=1+i,$ તો $\left|\frac{z_{1}+z_{2}+1}{z_{1}-z_{2}+1}\right|$ શોધો.