એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પદોની સંખ્યા યુગ્મ છે. જો બધાં જ પદોનો સરવાળો, અયુગ્મ સ્થાને રહેલ પદોના સરવાળા કરતાં $5$ ગણો હોય, તો સામાન્ય ગુણોત્તર શોધો.
Let the $G.P.$ be $T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4} \ldots . T_{2 n}$
Number of terms $=2 n$
According to the given condition,
$T_{1}+T_{2}+T_{3}+\ldots .+T_{2 n}=5\left[T_{1}+T_{3}+\ldots .+T_{2 n-1}\right]$
$\Rightarrow T_{1}+T_{2}+T_{3}+\ldots .+T_{2 n}-5\left[T_{1}+T_{3}+\ldots . .+T_{2 n-1}\right]=0$
$\Rightarrow T_{2}+T_{4}+\ldots .+T_{2 n}=4\left[T_{1}+T_{3}+\ldots . .+T_{2 n-1}\right]$
Let the $G.P.$ be $a, a r, a r^{2}, a r^{3} \dots$
$\therefore \frac{\operatorname{ar}\left(r^{n}-1\right)}{r-1}=\frac{4 \times a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$
$\Rightarrow a r=4 a$
$\Rightarrow r=4$
Thus, the common ratio of the $G.P.$ is $4$
સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં પહેલા અને ચોથા પદ વચ્ચેનો તફાવત $52$ છે. જો પહેલા ત્રણ પદોનો સરવાળો $26$ થાય તો શ્રેણીના પહેલા છ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય ?
$7,77,777,7777, \ldots$ નાં $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.
${{(0.2)}^{{{\log }_{\sqrt{5}}}\left( \frac{\text{1}}{\text{4}}\,+\,\frac{\text{1}}{\text{8}}\,+\,\frac{\text{1}}{\text{16}}\,+\,.....\,\infty \right)}}$ નું મૂલ્ય:
જેમાં ત્રીજું પદ, પ્રથમ પદથી $9$ જેટલું વધારે હોય અને બીજું પદ ચોથા પદથી $18$ જેટલું વધારે હોય તેવી સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ ચાર પદ શોધો.
$x$ ની કઈ કિંમત માટે $\frac{2}{7}, x,-\frac{7}{2}$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં થાય ?