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1.Units, Dimensions and Measurement
hard
किसी बीकर में रखे एक द्रव का घनत्व $\rho kg / m ^{3}$, विशिष्ट ऊष्मा $S J / kg ^{\circ} C$ तथा श्यानता $\eta$ है। यह बीकर $h$ ऊँचाई तक द्रव से भरा है। बीकर को एक 'हॉट प्लेट' पर रखने पर, उसमें रखे द्रव की सबसे ऊपर तथा सबसे नीचे की परत के बीच ताप का अन्तर $\Delta \theta\left({ }^{\circ} C\right.$ में ) होता है। एक विद्यार्थी के अनुसार, इस अवस्था में संवहन द्वारा प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊष्मा का स्थानान्तरण, अर्थात् $({Q} / A )$ का मान $\eta$, $\left(\frac{ S \Delta \theta}{ h }\right)$ तथा $\left(\frac{1}{\rho g }\right)$ पर निर्भर करना चाहिये, तो, $( {Q} / A )$ के मान के लिये सही विकल्प होगा :
A$\,\eta \cdot \left( {\frac{{S\Delta \theta }}{h}} \right)\left( {\frac{1}{{\rho g}}} \right)$
B$\,\left( {\frac{{S\Delta \theta }}{{\eta h}}} \right)\left( {\frac{1}{{\rho g}}} \right)$
C$\,\frac{{S\Delta \theta }}{{\eta h}}$
D$\eta \,\frac{{S\Delta \theta }}{h}$
(JEE MAIN-2015)
Solution
$\begin{array}{l}
Let\,\frac{Q}{A} = {\eta ^a}{\left( {\frac{{S\Delta \theta }}{h}} \right)^b}{\left( {\frac{1}{{\rho g}}} \right)^c}\\
{\rm{Using}}\,{\rm{dimensional}}\,method\\
M{T^{ – 3}} = {\left[ {M{L^{ – 1}}{T^{ – 1}}} \right]^a}{\left[ {L{T^{ – 2}}} \right]^b}{\left[ {{M^{ – 1}}{L^2}{T^2}} \right]^c}\\
or,\,M{T^{ – 3}} = \left[ {{M^{a – c}}{L^{ – a + b + 2c}}{T^{ – a – 2b + 2c}}} \right]\\
Equating\,powers\,and\,solving\\
we\,get,a = 1,b = 1,c = 0\\
\therefore \frac{Q}{A} = \eta \frac{{S\Delta \theta }}{h}
\end{array}$
Let\,\frac{Q}{A} = {\eta ^a}{\left( {\frac{{S\Delta \theta }}{h}} \right)^b}{\left( {\frac{1}{{\rho g}}} \right)^c}\\
{\rm{Using}}\,{\rm{dimensional}}\,method\\
M{T^{ – 3}} = {\left[ {M{L^{ – 1}}{T^{ – 1}}} \right]^a}{\left[ {L{T^{ – 2}}} \right]^b}{\left[ {{M^{ – 1}}{L^2}{T^2}} \right]^c}\\
or,\,M{T^{ – 3}} = \left[ {{M^{a – c}}{L^{ – a + b + 2c}}{T^{ – a – 2b + 2c}}} \right]\\
Equating\,powers\,and\,solving\\
we\,get,a = 1,b = 1,c = 0\\
\therefore \frac{Q}{A} = \eta \frac{{S\Delta \theta }}{h}
\end{array}$
Standard 11
Physics
