एक वत्त C रेखा x =2 y को बिन्दु (2,1) पर स्पर्श

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10-1.Circle and System of Circles

hard

एक वत्त $C$ रेखा $x =2 y$ को बिन्दु $(2,1)$ पर स्पर्श करता है तथा वत्त $C_{1}: x^{2}+y^{2}+2 y-5=0$ को दो बिन्दुओं $P$ तथा $Q$ पर इस प्रकार काटता है कि $P Q$ वत्त $C _{1}$ का एक व्यास है, तो $C$ का व्यास है -

A

$7 \sqrt{5}$

B

$15$

C

$\sqrt{285}$

D

$4 \sqrt{15}$

(JEE MAIN-2021)

Solution

$(\mathrm{x}-2)^{2}+(\mathrm{y}-1)^{2}+\lambda(\mathrm{x}-2 \mathrm{y})=0$

$\mathrm{C}: \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{x}(\lambda-4)+\mathrm{y}(-2-2 \lambda)+5=0$

$\mathrm{C}_{1}: \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+2 \mathrm{y}-5=0$

$\mathrm{~S}_{1}-\mathrm{S}_{2}=0$ (Equation of $\left.\mathrm{PQ}\right)$

$(\lambda-4) \mathrm{x}-(2 \lambda+4) \mathrm{y}+10=0$ Passes through $(0,-1)$

$\Rightarrow \lambda=-7$

$\mathrm{C}: \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}-11 \mathrm{x}+12 \mathrm{y}+5=0$

$=\frac{\sqrt{245}}{4}$

Diometer $=7 \sqrt{5}$

Standard 11

Mathematics

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यदि वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2x + 2ky + 6 = 0$ तथा ${x^2} + {y^2} + 2ky + k = 0$ परस्पर समकोण पर काटते हैं, तो $k$ का मान है

medium

(IIT-2000)

दो वृत्तों ${x^2} + {y^2} = 4$ व ${x^2} – {y^2} – 8x + 12 = 0$ की उभयनिष्ठ स्पर्शियों की संख्या है

hard

वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2x + 8y – 23 = 0$ और ${x^2} + {y^2} – 4x – 10y + 9 = 0$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या है

hard

माना वृत्त $C$, बिन्दु $A (2,-1)$ तथा $B (3,4)$ से गुजरता है। रेखाखण्ड $AB$, वृत्त $C$ का व्यास नहीं है। यदि वृत्त $C$ की त्रिज्या $r$ तथा इसका केन्द्र, वृत्त $( x -5)^2+( y -1)^2=\frac{13}{2}$ पर स्थित है, तो $r ^2$ बराबर है :

medium

(JEE MAIN-2022)

अनुच्छेद में दी गई जानकारी के आधार पर सूचियों का उचित मिलान करके प्रश्न का उत्तर दें। माना कि वृत्त (circle) $C_1: x^2+y^2=9$ और वृत्त $C_2:(x-3)^2+(y-4)^2=16$ एक दूसरे को बिन्दुओं $X$ और $Y$ पर काटते हैं। माना लीजिये एक और वृत्त $C _3:( x – h )^2+( y – k )^2= r ^2$ निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है :

$(i)$ $C _3$ का केंद्र (centre) $C _1$ और $C _2$ के केन्द्रों के सरेख (Collinear) है।

$(ii)$ $C _1$ और $C _2$ दोनों $C _3$ के अन्दर हैं और

$(iii)$ $C _3, C _1$ को $M$ और $C _2$ को $N$ पर स्पर्श करता है।

माना कि $X$ और $Y$ से होकर जाने वाली रेखा $C _3$ को $Z$ और $W$ पर काटती है तथा $C _1$ और $C _3$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा (Common tangent) परवलय $x ^2=8 \alpha y$ की स्पर्श रेखा है।

सूची-$I$($List-I$) में कुछ व्यंजक (expression) हैं जिनका मान नीचे दी गयी सूची-$II$($List-II$) में है

$List-I$ $List-II$

$(I)$ $2 h + k$ $(P)$ $6$

$(II)$ $ZW$ की लंबाई \ $XY$ की लंबाई $(Q)$ $\sqrt{6}$

$(III)$ त्रिभुज $MZN$ का क्षेत्र फल $ZMW$ $(R)$ $\frac{5}{4}$

$(IV)$ $\alpha$ $(S)$ $\frac{21}{5}$

$(T)$ $2 \sqrt{6}$

$(U)$ $\frac{10}{3}$

($1$) निम्न में से कौन सा एकमात्र संयोजन गलत है ?

$(1) (IV), (S)$ $(2) (IV), (U)$ $(3) (III), (R)$ $(4) (I), (P)$

($2$) निम्न में से कौन सा एकमात्र संयोजन सही है ?

$(1) (II), (T)$ $(2) (I), (S)$ $(3) (I), (U)$ $(4) (II), (Q)$

Give the answer or quetion ($1$) and ($2$)

hard

(IIT-2019)