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10-1.Circle and System of Circles
hard
एक वृत्त $S$ बिन्दु $(0,1)$ से गुजरता है तथा वृत्तों $(x-1)^2+y^2=16$ एवं $x^2+y^2=1$ के लम्बकोणीय (orthogonal) है, तब
$(A)$ $S$ की त्रिज्या (radius) $8$ है
$(B)$ $S$ की त्रिज्या $7$ है
$(C)$ $S$ का केन्द्र $(-7,1)$ है
$(D)$ $S$ का केन्द्र $(-8,1)$ है
A
$(B,D)$
B
$(B,C)$
C
$(A,C)$
D
$(A,D)$
(IIT-2014)
Solution
Let the cirlce be
$x^2+y^2+2 g x+2 f y+c=0$ $\quad\quad……….(1)$
given circles
$x ^2+ y ^2-2 x -15=0 $ $\quad\quad……….(2)$
$x ^2+ y ^2-1=0$ $\quad\quad……….(3)$
$(1)$ and $(2)$ are orthogonal
$\Rightarrow \quad-g+0=\frac{c-15}{2} $
$\Rightarrow \quad 0+0=\frac{c-1}{2} $
$\Rightarrow \quad c=1 \& g=7$
so the cirle is $x^2+y^2+14 x+2 f y+1=0 \quad$ it passes thrgouh
$(0,1) \Rightarrow \quad 0+1+0+2 f+1=0 $
$ \Rightarrow \quad x^2+y^2+14 x-2 y+1=0$
Centre $(-7,1)$
$\text { radius }=7$
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