वक्रों C ₁: frac{ x ^2}{4}+frac{ y ^2}{9}=1 तथा C ₂: frac{ x ^2}{42}-frac{ y ^

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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

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वक्रों $C _1: \frac{ x ^2}{4}+\frac{ y ^2}{9}=1$ तथा $C _2: \frac{ x ^2}{42}-\frac{ y ^2}{143}=1$ की एक ऊभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $T$ चतुर्थ चतुर्थाश से होकर नहीं जाती। यदि $T$ वक्र $C _1$ को $\left( x _1, y _1\right)$ पर तथा वक्र $C _2$ को $\left( x _2, y _2\right)$ पर स्पर्श करती है, तो $\left|2 x _1+ x _2\right|$ बराबर है $..........$

A

$19$

B

$18$

C

$17$

D

$20$

(JEE MAIN-2022)

Solution

$T_{1}: y=m x \pm \sqrt{4 m^{2}+9}$

And $T_{2}: y=m x \pm \sqrt{42 m^{2}-13}$

So, $4\,m^{2}+9=42 m^{2}-143$

$38\,m ^{2}=152$

$m=\pm 2$

$c=\pm 5$

For given tangent not pass through $4^{\text {th }}$ quadrant

$T: y=2 x+5$

Now, comparing with $\frac{ xx _{1}}{4}+\frac{ yy _{1}}{9}=1$

We get, $\frac{x_{1}}{8}=-\frac{1}{5} \Rightarrow x_{1}=-\frac{8}{5}$

$\frac{ xx _{2}}{42}-\frac{ yy _{2}}{143}=1$

$2 x-y=-5$ we have

$x _{2}=-\frac{84}{5}$

So, $\left|2 x _{1}+ x _{2}\right|=\left|\frac{-100}{5}\right|=20$

Standard 11

Mathematics

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