एक बाजार अनुसंधान समूह ने $1000$ उपभोक्ताओं का सर्वेक्षण किया और सूचित किया कि $720$ उपभोक्ताओं ने उत्पाद $A$ तथा $450$ उपभोक्ताओं ने उत्पाद $B$ पसंद् किया। दोनों उत्पादों को पसंद करने वाले उपभोक्ताओं की न्यूनतम संख्या क्या है ?
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Let $U$ be the set of consumers questioned, $S$ be the set of consumers who liked the product $A$ and $T$ be the set of consumers who like the product $B.$ Given that
$n( U )=1000, n( S )=720, n( T )=450$
So $ n( S \cup T ) =n( S )+n( T )-n( S \cap T ) $
$=720+450-n( S \cap T )=1170-n( S \cap T ) $
Therefore, $n( S \cup T )$ is maximum when $n( S \cap T )$ is least.
But $S \cup T \subset U$ implies $n( S \cup T ) \leq n( U )=1000 .$
So, maximum values of $n( S \cup T )$ is $1000 .$
Thus, the least value of $n( S \cap T )$ is $170 .$
Hence, the least number of consumers who liked both products is $170$
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एक महाविद्यालय में फुटबाल के लिए $38,$ बास्केट बाल के लिए $15$ और क्रिकेट के लिए $20$ पदक प्रदान किए गए। यदि ये पदक कुल $58$ लोगों को मिले और केवल तीन लोगों को तीनों खेलों के लिए मिले, तो कितने लोगों को तीन में से ठीक-ठीक दो खेलों के लिए मिले ?
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मान लीजिए कि $X =\{$ राम, गीता, अकबर $\}$ कक्षा $XI$ के विद्यार्थियों का जो विद्यालय की हाकी टीम में हैं, एक समुच्चय है। मान लीजिए कि $Y =\{$ गीता, डेविड, अशोक $\}$ कक्षा $XI$ के विद्यार्थियों का, जो विद्यालय की फुटबाल टीम में हैं, एक समुच्चय है। $X \cup Y$ ज्ञात कीजिए और इस समुच्चय की व्याख्या कीजिए।
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$70$ व्यक्तियों के समूह में, $37$ कॉफ़ी, $52$ चाय पसंद करते हैं और प्रत्येक व्यक्ति दोनों में से कम से कम एक पेय पसंद करता है, तो कितने व्यक्ति कॉफ़ी और चाय दोनों को पसंद करते हैं ?
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$140$ विद्यार्थियों, जिनके क्रमांक $1$ से $140$ हैं, की एक कक्षा में सभी सम क्रमांक के विद्यार्थियों ने गणित विषय चुना है, उन्होंने जिनके क्रमांग $3$ से विभाजित होते हैं भौतिक शास्त्र विषय चुना है तथा उन्होंने जिनके क्रमांक $5$ से विभाजित होते हैं, रसायन शास्त्र विषय चुना है। तो उन विद्यार्थियों की संख्या, जिन्होंने इन तीन में से कोई भी विषम नहीं चुना है
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- [JEE MAIN 2019]
एक विद्यालय में $20$ अध्यापक हैं जो गणित या भौतिकी पढाते हैं। इनमें से $12$ गणित पढाते हैं और $4$ भौतिकी और गणित दोनों को पढाते हैं। कितने अध्यापक भौतिकी पढाते हैं ?
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