अनुसार निर्भर करता है जहाँ $k=1 kgs ^{-2}$ है। समय $t=0$ पर कण की स्थिति $\vec{r}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\sqrt{2} \hat{j}\right) m$ व इसका वेग $\vec{v}=\left(-\sqrt{2} \hat{i}+\sqrt{2} \hat{j}+\frac{2}{\pi} \hat{k}\right) m s^{-1}$ है। माना $v_x$ तथा $v_y$ क्रमशः कण के वेग के $x$ तथा $y$ घटक हैं। गुरूत्व को नगण्य मानें। $z=0.5 m$ पर $\left(x v_y-y v_x\right)$ का मान $m^2 s^{-1}$ में होगा।
अनुसार निर्भर करता है जहाँ $k=1 kgs ^{-2}$ है। समय $t=0$ पर कण की स्थिति $\vec{r}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\sqrt{2} \hat{j}\right) m$ व इसका वेग $\vec{v}=\left(-\sqrt{2} \hat{i}+\sqrt{2} \hat{j}+\frac{2}{\pi} \hat{k}\right) m s^{-1}$ है। माना $v_x$ तथा $v_y$ क्रमशः कण के वेग के $x$ तथा $y$ घटक हैं। गुरूत्व को नगण्य मानें। $z=0.5 m$ पर $\left(x v_y-y v_x\right)$ का मान $m^2 s^{-1}$ में होगा।
- [IIT 2022]
- A
$3$
- B
$4$
- C
$5$
- D
$6$
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द्रव्यमान $m$ अचर वेग से $X-$अक्ष के समान्तर एक रेखा में गति कर रहा है। मूलबिन्दु अथवा $Z-$अक्ष के सापेक्ष इसका कोणीय संवेग
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- [IIT 1997]
एक $\mathrm{m}$ द्रव्यमान का कण क्षैतिज से $30^{\circ}$ के कोण पर ' $u$ ' वेग से प्रक्षेपित किया जाता है। जब कण अपनी अधिकतम ऊँचाई पर $h$ पर हो तो प्रक्षेपण बिन्दु के परित: प्रक्षेप्य का कोणीय संवेग का परिमाण है :
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- [JEE MAIN 2024]
द्रव्यमान $M=0.2 kg$ का एक कण आरंभ में $x y$-समतल के एक बिन्दु $( x =-l, y =-h)$ पर विरामावस्था में है, जहाँ $l=10 m$ तथा $h=1 m$ हैं। समय $t =0$ पर कण को $a =10 m / s ^2$ के नियत त्वरण (constant acceleration) से धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में त्वरित किया जाता है। मूल बिन्दु के सापेक्ष, कण के कोणीय संवेग (angular momentum) तथा बल आघूर्ण (torque) SI इकाई में क्रमशः $\overrightarrow{ L }$ और $\vec{\tau}$ से परिभाषित हैं। $\hat{ i }, \hat{ j }$ तथा $\hat{ k }$ क्रमश: धनात्मक $x, y$ और $z$-अक्षों की दिशाओं में इकाई सदिशें (unit vectors) हैं। यदि $\hat{ k }=\hat{ i } \times \hat{ j }$, तो निम्न में से कौन सा (से) कथन सत्य है (हैं)?
$(A)$ समय $t =2 s$ पर कण बिन्दु $(x-l, y--h)$ पर पहुँचता है
$(B)$ $\vec{\tau}=2 \hat{ k }$, जब कण बिन्दु $(x=1, y=-h)$ से गुजरता है
$(C)$ $\overrightarrow{ L }=4 \hat{ k }$, जब कण बिन्दु $(x=l, y=-h)$ से गुजरता है
$(D)$ $\vec{\tau}=\hat{ k }$, जब कण बिन्दु $(x-0, y-h)$ से गुजरता है
द्रव्यमान $M=0.2 kg$ का एक कण आरंभ में $x y$-समतल के एक बिन्दु $( x =-l, y =-h)$ पर विरामावस्था में है, जहाँ $l=10 m$ तथा $h=1 m$ हैं। समय $t =0$ पर कण को $a =10 m / s ^2$ के नियत त्वरण (constant acceleration) से धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में त्वरित किया जाता है। मूल बिन्दु के सापेक्ष, कण के कोणीय संवेग (angular momentum) तथा बल आघूर्ण (torque) SI इकाई में क्रमशः $\overrightarrow{ L }$ और $\vec{\tau}$ से परिभाषित हैं। $\hat{ i }, \hat{ j }$ तथा $\hat{ k }$ क्रमश: धनात्मक $x, y$ और $z$-अक्षों की दिशाओं में इकाई सदिशें (unit vectors) हैं। यदि $\hat{ k }=\hat{ i } \times \hat{ j }$, तो निम्न में से कौन सा (से) कथन सत्य है (हैं)?
$(A)$ समय $t =2 s$ पर कण बिन्दु $(x-l, y--h)$ पर पहुँचता है
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- [IIT 2021]
$log_e L$ तथा $log_e P$ के बीच का ग्राफ होगा (जहाँ $L$ कोणीय संवेग तथा $P$ रेखीय संवेग है)
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नीचे दी गयी सूची-$I$ में, एक कण के चार विभिन्न पथ, समय के विभिन्न फलनों (functions) के रूप में दिये गये हैं। इन फलनों में $\alpha$ और $\beta$ उचित विमाओं वाले धनात्मक नियतांक (positive constants) हैं, जहाँ $\alpha \neq \beta$ | प्रत्येक पथ में कण पर लगने वाला बल या तो शून्य है या संरक्षी (conservative) है। सूची॥ में कण की पाँच भौतिक राशियों का विवरण दिया गया है: $\vec{p}$ रेखीय संवेग (linear momentum) है, $\vec{L}$ मूल बिंदु (origin) के सापेक्ष कोणीय संवेग (angular momentum) है, $K$ गतिज उर्जा (kinetic energy) है, $U$ स्थितिज उर्जा (potential energy) है और $E$ कुल उर्जा (total energy) है। सूची-$I$ के प्रत्येक पथ का सूची-$II$ में दिये गये उन राशियों से सुमेल कीजिये, जो उस पथ के लिए संरक्षी (conserved) हैं।
सूची-$I$
सूची-$II$
$P$ $\dot{r}(t)=\alpha t \hat{t}+\beta t \hat{j}$
$1$ $\overrightarrow{ p }$
$Q$ $\dot{r}(t)=\alpha \cos \omega t \hat{i}+\beta \sin \omega t \hat{j}$
$2$ $\overrightarrow{ L }$
$R$ $\dot{r}(t)=\alpha(\cos \omega t \hat{i}+\sin \omega t \hat{j})$
$3$ $K$
$S$ $\dot{r}(t)=\alpha t \hat{i}+\frac{\beta}{2} t^2 \hat{j}$
$4$ $U$
$5$ $E$
नीचे दी गयी सूची-$I$ में, एक कण के चार विभिन्न पथ, समय के विभिन्न फलनों (functions) के रूप में दिये गये हैं। इन फलनों में $\alpha$ और $\beta$ उचित विमाओं वाले धनात्मक नियतांक (positive constants) हैं, जहाँ $\alpha \neq \beta$ | प्रत्येक पथ में कण पर लगने वाला बल या तो शून्य है या संरक्षी (conservative) है। सूची॥ में कण की पाँच भौतिक राशियों का विवरण दिया गया है: $\vec{p}$ रेखीय संवेग (linear momentum) है, $\vec{L}$ मूल बिंदु (origin) के सापेक्ष कोणीय संवेग (angular momentum) है, $K$ गतिज उर्जा (kinetic energy) है, $U$ स्थितिज उर्जा (potential energy) है और $E$ कुल उर्जा (total energy) है। सूची-$I$ के प्रत्येक पथ का सूची-$II$ में दिये गये उन राशियों से सुमेल कीजिये, जो उस पथ के लिए संरक्षी (conserved) हैं।
| सूची-$I$ | सूची-$II$ |
| $P$ $\dot{r}(t)=\alpha t \hat{t}+\beta t \hat{j}$ | $1$ $\overrightarrow{ p }$ |
| $Q$ $\dot{r}(t)=\alpha \cos \omega t \hat{i}+\beta \sin \omega t \hat{j}$ | $2$ $\overrightarrow{ L }$ |
| $R$ $\dot{r}(t)=\alpha(\cos \omega t \hat{i}+\sin \omega t \hat{j})$ | $3$ $K$ |
| $S$ $\dot{r}(t)=\alpha t \hat{i}+\frac{\beta}{2} t^2 \hat{j}$ | $4$ $U$ |
| $5$ $E$ |
- [IIT 2018]