अनुसार निर्भर करता है जहाँ k=1 kgs ^{-2} है। स?

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6.System of Particles and Rotational Motion

hard

अनुसार निर्भर करता है जहाँ $k=1 kgs ^{-2}$ है। समय $t=0$ पर कण की स्थिति $\vec{r}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\sqrt{2} \hat{j}\right) m$ व इसका वेग $\vec{v}=\left(-\sqrt{2} \hat{i}+\sqrt{2} \hat{j}+\frac{2}{\pi} \hat{k}\right) m s^{-1}$ है। माना $v_x$ तथा $v_y$ क्रमशः कण के वेग के $x$ तथा $y$ घटक हैं। गुरूत्व को नगण्य मानें। $z=0.5 m$ पर $\left(x v_y-y v_x\right)$ का मान $m^2 s^{-1}$ में होगा।

A

$3$

B

$4$

C

$5$

D

$6$

(IIT-2022)

Solution

Torque about origin is zero

So angular momentum about origin remains conserved.

$\begin{array}{l}\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{2} & 0 \\ -\sqrt{2} & \sqrt{2} & \frac{2}{\pi}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ x & y & 0.5 \\ v_x & v_y & \frac{2}{\pi}\end{array}\right| \\ \hat{i}\left[\sqrt{2} \times \frac{2}{\pi}\right]-\hat{j}\left[\frac{\sqrt{2}}{\pi}\right]+\hat{k}[1+2]=i\left[\frac{y \times 2}{\pi}-0.5 v_y\right]-\hat{j}\left[\frac{x \times 2}{\pi}-0.5 v_x\right]+k\left[x v_y-y v_x\right] \\ x v_y-y v_x=3\end{array}$

Standard 11

Physics

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यदि त्रिज्या के स्थिति सदिश $2\hat i + \hat j + \hat k$ तथा $2\hat i – 3\hat j + \hat k$ जबकि रेखीय संवेग $2\hat i + 3\hat j – \hat k.$ हों, तब कोणीय संवेग का मान होगा

medium

द्रव्यमान $m$ तथा लम्बाई $L$ की एक छड़, जो अपने किसी एक सिरे पर कीलकीत है, ऊर्ध्वाधर रूप से लटकायी गई है। $v$ चाल से गतिशील समान द्रव्यमान की एक गोली छड़ से इसके कीलकीत सिरे से $x$ दूरी पर टकराती है तथा इसमें धँस जाती है। अब संयुक्त निकाय कीलक के सापेक्ष कोणीय चाल $\omega$ से घूर्णन करता है। अधिकतम कोणीय चाल $\omega_{ M } x = x _{ M }$ के लिए प्राप्त होती है। तब
$(A)$ $\omega=\frac{3 v x}{ L ^2+3 x^2}$
$(B)$ $\omega=\frac{12 v x}{L^2+12 x^2}$
$(C)$ $x_M=\frac{L}{\sqrt{3}}$
$(D)$ $\omega_M=\frac{v}{2 L} \sqrt{3}$

hard

(IIT-2020)

द्रव्यमान $M$ तथा लम्बाई $a$ की एक पतली छड़ एक क्षैतिज तल में बिन्दु $O$ से गुजरने वाले एक स्थिर ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः घूर्णन करने के लिए स्वतंत्र है। द्रव्यमान $M$ तथा त्रिज्या $a / 4$ की एक पतली वृत्ताकार डिस्क को एक छड़ पर उसके स्वतंत्र सिरे से $a / 4$ दूरी पर चित्रानुसार धुराग्रस्थ (pivoted) किया गया है, जिससे वह अपने ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः घूर्णन करने के लिए स्वतंत्र है। मान ले कि छड़ और डिस्क दोनों का एकसमान घनत्व है, तथा गति के दौरान दोनों क्षैतिज रहते हैं। एक स्थिर प्रेक्षक किसी क्षण छड़ को कोणीय वेग (angular velocity) $\Omega$ से तथा डिस्क को कोणीय वेग $4 \Omega$ से घूर्णन करते हुए पाता है। इस निकाय का कोणीय संवेग (angular momentum) बिन्दु $O$ के परितः $\left(\frac{ M a^2 \Omega}{48}\right) n$ है। $n$ का मान होगा।

medium

(IIT-2021)

$m$ द्रव्यमान का एक कण $x-y$ तल में नियत वेग $v$ से $X-$अक्ष के समान्तर चित्रानुसार गति कर रहा है किसी समय $t $ पर मूल बिन्दु के सापेक्ष इसका कोणीय संवेग होगा

medium

यदि बल आघूर्ण का मान शून्य हो, तब

easy