$15$ सेमी लंबी एक छड़ $AB$ दोनों निर्देशांक्षों के बीच में इस प्रकार रखी गई है कि उसका एक सिरा $A , x-$अक्ष पर और दूसरा सिरा $B , y-$ अक्ष पर रहता है छड़ पर एक बिंदु $P (x, y)$ इस प्रकार लिया गया है कि $AP =6$ सेमी हैं दिखाइए कि $P$ का बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है।
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Let $AB$ be the rod making an angle $\theta $ with $OX$ as shown in Fig. and $P (x, \,y)$ the point on it such that $AP =6\, cm$
since $AB =15\,cm ,$ we have
$P B=9\, cm$
From $P$ draw $PQ$ and $PR$ perpendiculars on $y-$ axis and $x-$ axis, respectively.
From $\Delta PBQ$ , $\cos \theta=\frac{x}{9}$
From $\Delta PRA$, $\sin \theta=\frac{y}{6}$
since $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$
$\left(\frac{x}{9}\right)^{2}+\left(\frac{y}{6}\right)^{2}=1$
or $\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^{2}}{36}=1$
Thus the locus of $P$ is an cllipse.
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- [IIT 1997]
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