एक 12 सेमी लंबी छड़ इस प्रकार चलती है कि ?

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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

hard

एक $12$ सेमी लंबी छड़ इस प्रकार चलती है कि इसके सिरे निर्देशांक्षो को स्पर्श करते हैं। छड़ के बिंदु $P$ का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जो $x-$ अक्ष के संपर्क वाले सिरे से $3$ सेमी दूर है।

A

$\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^2} {9}=1$

B

$\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^2} {9}=1$

C

$\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^2} {9}=1$

D

$\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^2} {9}=1$

Solution

Let $AB$ be the rod making an angle $\theta$ with $O X$ and $P ( x ,\, y )$ be the point on it such that $AP =3\,cm$

Then, $PB = AB – AP =(12-3)\, cm =9\, cm$ $[ AB =12 \,cm ]$

From $P$, draw $PQ \perp OY$ and $PR \perp OX$.

In $\Delta PBQ$ , $\cos \theta=\frac{ PQ }{ PB }=\frac{x}{9}$

In $\Delta PRA$ , $\sin \theta=\frac{ PR }{ PA }=\frac{y}{3}$

since, $\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$

$\left(\frac{y}{3}\right)^{2}+\left(\frac{x}{9}\right)^{2}=1$

Or, $\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^{2}}{9}=1$

Thus, the equation of the locus of point $P$ on the rod is $\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^2} {9}=1$.

Standard 11

Mathematics

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hard

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