त्रिज्या 'r' का कोई लघु गोला विरामाव?

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9-1.Fluid Mechanics

hard

त्रिज्या $'r'$ का कोई लघु गोला विरामावस्था से किसी श्यान द्रव में गिरता है । श्यान बल के कारण इसमें ऊष्मा उत्पन्न होती है गोले के अंतिम (टर्मिनल) वेग पर उत्पन्न ऊष्मा की दर निम्नलिखित में से किसके अनुक्रमानुपाती होती है ?

A

$r^3$

B

$\;$$r^2$

C

$r^4$

D

$\;$$r^5$

(NEET-2018)

Solution

The viscous drag force, $F = 6\pi \eta rv;$

$where\,v = terminal\,velocity$

$\therefore \,The\,rate\,of\,production\,of\,heat = power$

$ = force \times terminal\,velocity$

$ \Rightarrow power = 6\pi \eta rv \cdot v = 6\pi \eta r{v^2}\,\,\,\,\,\,\,\,…\left( i \right)$

$Terminal\,velocity\,v = \frac{{2{r^2}\left( {\rho – \sigma } \right)}}{{9\eta }};\,\,\,\therefore v \propto {r^2}$

$Now,\,power = 6\pi \eta r\left[ {\frac{{4{r^2}{{\left( {\rho – \sigma } \right)}^2}}}{{81{\eta ^2}}}{g^2}} \right]or\,power \propto {r^5}.$

Standard 11

Physics

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निम्नलिखित में से कौन-सा विकल्प उस बिन्दु-द्रव्यमान की गति $' v '$ और त्वरण $' a '$ के बदलाव को सही तरह से दर्शाता है जो कि किसी श्यान माध्यम में ऊर्ध्वाधर दिशा में नीचे की ओर गिरते हुए माध्यम के कारण एक बल $F=-k v$, जहाँ पर $' k '$ एक नियतांक है, का अनुभव करता है। (ग्राफों का व्यवस्थात्मक निरूपण माप के अनुसार नहीं है।)

medium

(JEE MAIN-2016)

मान लीजिये कि एक फुटबाल पर लगने वाला कर्षण बल मात्र हवा के घनत्व, फुटबाल के वेग तथा फुटबाल की अनुप्रष्ठ काट के क्षेत्रफल पर निर्भर करता है। भिन्न आकार किन्तु समान घनत्व की दो फुटबाल को हवा में गिराया जाता है। यदि फुटबाल के द्रव्यमान क्रमश: $250 \,g$ तथा $125 \,g$ हैं, तो उनके सीमांत वेगों (terminal velocities) का अनुपात होगा:

normal

(KVPY-2018)

बराबर त्रिज्या वाले दो गोलों $P$ तथा $Q$ के घनत्व क्रमशः $\rho_1$ तथा $\rho_2$ है। गोलों को एक द्रव्यमान रहित डोरी से जोड़कर $\sigma_1$ एव $\sigma_2$ घनत्व वाले तथा $\eta_1$ एवं $\eta_2$ श्यानता गुणाकों वाले द्रवों $L_1$ एवं $L_2$ में डाला जाता है। साम्यावस्था में गोला $P$ द्रव $L_1$ में तथा $Q$ द्रव $L_2$ में तैरता है तथा डोरी तनी रहती है (चित्र देखें)। यदि गोले $P$ को अलग से $L_2$ में डालने पर उसका सीमांत वेग $\bar{V}_P$ होता है और गोले $Q$ का $L _1$ में अलग से डालने पर सीमांत वेग $\bar{V}_Q$ है, तव

$(A)$ $\frac{\left|\overrightarrow{ V }_{ P }\right|}{\left|\overrightarrow{ V }_{ Q }\right|}=\frac{\eta_1}{\eta_2}$ $(B)$ $\frac{\left|\overrightarrow{ V }_{ P }\right|}{\left|\overrightarrow{ V }_{ Q }\right|}=\frac{\eta_2}{\eta_1}$

$(C)$ $\overrightarrow{ V }_{ P } \cdot \overrightarrow{ V }_{ Q } > 0$ $(D)$ $\overrightarrow{ V }_{ P } \cdot \overrightarrow{ V }_{ Q } < 0$

normal

(IIT-2015)

नदी में जल धारा का वेग

easy

'$r$' त्रिज्या की छोटी गोलाकार गेंद नगण्य घनत्व के एक श्यान माध्यम में गिरती है। उसका सीमान्त वेग ' $v$ ' है। समान द्रव्यमान तथा $2 r$ त्रिज्या की दूसरी गोली समान श्यान माध्यम में गिरती है तो उसका सीमान्त वेग होगा:

hard

(JEE MAIN-2024)